Промежутки выпуклости. Точки перегиба

Кривая y = f(x) называется выпуклой вниз в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Кривая y = f(x) называется выпуклой вверх в некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Промежутками выпуклости графика функции называются промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз.

Достаточный признак выпуклости функции

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f ”(x) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f “(x) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

КРАТКО:

если f “(x) > 0, то f(x) - 

если f “(x) < 0, то f(x) - 

Точкой перегиба называется точка графика функции y = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f ”(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку х₀ вторая производная f ”(x) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х₀; f(x₀))

КРАТКО:

если через х₀ – критическую точку f ”(x) меняет знак, то (х₀; f(x₀)) – точка перегиба

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА

№

Этапы

Краткая запись

1

Определить область определения функции

D(f)

2

Найти первую и вторую производную

f’(x); f ”(x)

3

Найти критические точки функции y = f(x), т.е. точки, в которых вторая производная f ”(x) обращается в нуль или не существует

f ”(x) = 0 

х₁, х₂, х₃ – критические точки

4

Нанести критические точки на область определения функции (ось ОХ)

5

Определить знак второй производной f ”(x) в промежутках (для этого взять любое число внутри рассматриваемого промежутка и подставить во вторую производную f”(x))

если f “(x) > 0  f(x) - 

f “(x) < 0  f(x) - 

на рассматриваемом промежутке

6

Определить абсциссы точек перегиба

если через х₀ - критическую точку f ”(x) меняет знак, то

х₀ – абсцисса точки перегиба

 х₁, х₃ – абсциссы точек перегиба

7

Вычислить значения функции (ординаты) в точках перегиба (для этого подставить х в первоначальную функцию)

f(x₁); f(x₃)

8

Записать ответ

Ответ: (x₁; f(x₁)); (х₃; f(x₃))