Тема 2.4. Неопределенный интеграл и методы его вычисления.

Функция у = F(x) называется первообразной для функции у = f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется условие

где F(x) – первообразная

f(x) – производная функции F(x)

Основное свойство первообразной

Если y = F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид:

y = F(x) + c

где

F(x) – первообразная; С - постоянная;

F(x) + c – множество всех первообразных

Геометрический смысл основного свойства первообразной

Графики всех первообразных y = F(x) + c получаются из графика y = F(x) путем параллельного переноса последнего вдоль оси ОУ.

Множества функций F(x) + c всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом

где

-

символ знака интеграла

f(x)

-

подынтегральная функция

f(x)dx

-

подынтегральное выражение

-

обозначение неопределенного интеграла

х

-

переменная интегрирования

F(x)

-

первообразная

с

-

произвольная постоянная (const)

F(x) + c

-

множество всех первообразных

Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифференциал.

Интегрирование – это действие нахождения (восстановления) функции по заданной производной или дифференциалу.

1

3

, где k -const

2

4

1

, c - const

2

3

4

5

a > 0

a  1

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Непосредственное интегрирование – это такой метод, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод введения новой переменной (метод подстановки) – этот метод позволяет с помощью введения новой переменной свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Алгоритм

1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2. найти дифференциал от обеих частей замены;

3. всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего должен получиться табличный интеграл;

4. найти полученный табличный интеграл;

5. сделать обратную замену.

Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле

где u, - непрерывно-дифференцируемые функции от х

Алгоритм

Представляют интеграл через u и с помощью таблицы

 

интеграл вида:

интеграл вида:

 

замена

замена

Примечание:

Интегрирование по частям применяется в том случае, если под знаком интеграла стоят произведения:

1. степенной и тригонометрической функций;

2. степенной и обратной тригонометрической функций;

3. степенной и логарифмической функций;

4. степенной и показательной функций.