Тема 2.5. Определенный интеграл и методы его вычисления.

Понятие интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]

1. Разобьем отрезок [а; b] на n частей точками

a = x₀ < x₁< x₂< ... <x_n-2 < x_n-1 < x_n = b

2. Введем обозначение

x = x₁ – x₀; x₂ = x₂ – x₁;

x₃ = x₃ – x₂ …x_n = x_n – x_n-1

3. Обозначив x_i – длин каждого отрезка, на каждом из них, как на основании, построим прямоугольник высотой f(c_i)

Интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а; b] называют сумму вида:

где

c_i

-

произвольная точка внутри отрезка x_i

x_i

-

длина каждого из рассматриваемых отрезков (основание);

f(c_i)

-

значение функции в этой точке (высота);

f(c_i)  x

-

произведение высоты на длину (основание) выражает площадь прямоугольника.

Геометрический смысл интегральной суммы

Интегральная сумма выражает площадь «ступенчатой фигуры», состоящей из построенных прямоугольников и приближенно заменяющей площадь криволинейной трапеции.

где

Sn

-

интегральная сумма, зависящая как от числа точек разбития отрезка [а; b], так и от выбора точек с₁, с₂, …, с_n на каждом из отрезков разбиения.

Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [а; b] называется предел интегральной суммы, при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.

где

а

-

нижний предел интегрирования

b

-

верхний предел интегрирования

[а; b]

-

отрезок интегрирования

f(х)

-

непрерывная и неотрицательная функция, интегрированная на [а; b];



-

символ знака интеграла, стилизованная форма буквы S – первая буква слова Summa (латин.), т.е. определенный интеграл это предел интегральных сумм.

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x), осью ОХ (у = 0) и прямыми х = а, х = b.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

• непрерывной и неотрицательной функции y =f(x);

• осью ОХ ( у = 0);

• прямыми х = а и х = b.