Наибольшее и наименьшее значения

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке – это значения х, при которых выражение f(x) принимает самое большое и самое маленькое значение (у) по сравнению со всеми возможными значениями функции.

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ y = f(x), НА ОТРЕЗКЕ [a; b]

№

Этапы

Краткая запись

1

Определить область определения функции

D(f)

2

Найти первую производную

f’(x)

3

Первую производную приравнять к нулю, чтобы найти критические точки (т.е. точки, в которых она равна нулю или терпит разрыв)

f ‘(x) = 0 

х₁, х₂, х₃, x₄ – критические точки

4

Выбрать критические точки, принадлежащие данному отрезку и области определения функции

пусть х₁, х₅  [a; b]

х₂, х₃, х₄  [a; b]

5

Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принад-лежащих отрезку (для этого подставить х в первоначальную функцию y = f(x)

f(a) = A

f(b) = B - наибольшее

f(x₂) = C

f(x₃) = Е - наименьшее

f(x₄) = E – наименьшее

6

Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них явля-ются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом отрезке

f_наиб = f(b) = B

f_наим = f(x₃) = f(x₄) = E

7

Записать ответ

Ответ: f_наиб = f(b) = B;

f_наим = f(x₃) - f(x₄) = Е

Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты

Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви

Виды асимптот

1. горизонтальная (прямая а)

2. вертикальная (прямая б)

3. наклонная (прямая с)

вертикальная асимптота

горизонтальная асимптота

наклонная асимптота

х = а

х = b

y = kx + b

Вычисление асимптоты

Уравнение

Вертикальная асимптота существует, если хотя бы один из пределов в точке разрыва равен бесконечности

(предел справа) (предел слева)

Горизонтальная асимптота существует, если при предел конечен

или

Наклонная асимптота существует, если

, либо при х  , либо х  - 

Правило нахождения асимптот

1

Найти область определения функции и определить точки разрыва функции.

2

Найти пределы функции в точках разрыва функции и если предел в рассматриваемой точке равен бесконечности, то существует вертикальная асимптота.

3

Найти пределы функции при и если предел конечен, то существует горизонтальная асимптота.

4

Найти k по формуле (при или ) и если предел конечен, то существует наклонная асимптота.

Найти b по формуле (при или ) и если предел бесконечен, то наклонная асимптота проходит через начало координат.