Частотные оценки качества переходного процесса

При рассмотрении критерия устойчивости Найквиста были введены понятия запасов устойчивости по модулю (амплитуде) и по фазе. Эти показатели можно рассматривать как простейшие оценки качества переходного процесса - при запасах 6 дБ по модулю и 40 градусов по фазе можно ожидать, что перерегулирование и время окончания переходного процесса будут относительно небольшими.

Недостатком критериев запаса устойчивости по модулю (амплитуде) и по фазе является то, что устойчивость оценивается двумя числами. Кроме того запасы устойчивости не связаны определенными соотношениями с показателями качества перпходного процесса.

Этого недостатка нет при оценке запаса устойчивости по показателю колебательности системы (M).

,

где Ф(j) - передаточная функция замкнутой системы.

При этом появляется возможность при M>1 аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику замкнутой САУ выражением

с соответствующим . Здесь прослеживается аналогия с так называемым правилом Ишлинского о аппроксимации переходных процессов САУ любой сложности процессами в системах 2-го или 3-го порядка.

Для этой аппроксимации на рис.3 [2, с.234-239] приведена зависимости между колебательностью (M) и перерегулированием (%).

При заданной колебательности запретная область - окружность с центром на отрицательной полуоси абсцисс с диаметром [4]

и центром в точке с координатами

.

Для обеспечения заданной колебательностьи годограф найквиста не должен пересекать эту окружность (Рис.4).

Диаграмма Вышнерадского

Диаграмма дает полное представление о влиянии расположения корней на характер переходного процесса в системе третьего порядка.

Характеристическое уравнение

.

Разделим на a₃

и введем новую переменную

.

Обозначив , получим

.

Преобразования позволили сократить число коэффициентов характеристического уравнения до двух и изобразить характерные области на плоскости (Рис.5)

На диаграмму можно наложить линии равной длительности переходного процесса и линии равной колебательности [1].

Интегральные оценки качества регулирования

В [2, с. 229] приведены сравнительные оценки интегральных критериев качества регулирования при подаче на вход САУ g(t)=1(t).

Критерий минимума

,

где x(t)= y()-y(t), y(t) - сигнал на выходе замкнутой САУ, причем y(0)=0, а y()=1, имеет экстремалью единичный скачек на выходе САУ. При этом по мере приближения к экстремали растет скорость нарастания сигнала на выходе САУ, увеличивается частота и, главное, амплитуда колебаний на выходе, а следовательно, и перерегулирование. Это является причиной того, что использование квадратичной оценки может привести к САУ с большим перерегулированием.

Улучшеннная квадратичная оценка качества регулирования минимум

имеет зкстремалью

.

Это означает, что при выборе параметров САУ по критерию минимума улучшеной квадратичной оценки реакция САУ на единичный скачек на входе будет приближаться к y(t) с выбранным параметром T, что обычно более приемлемо.