Лекции по ТАУ2 / Лекция №4

Передаточные функции типовых звеньев

Передаточные функции линейных звеньев могут быть представлены в виде дроби

,

где N(s) и L(s) – многочлены степеней n и m (n>m) по s.

Линейные звенья, в передаточные функции которых входят многочлены N(s) и L(s) со свободными членами отличными от нуля называют позиционными (или статическими). Обычно соответствующим выбором коэффициента k свободные члены делают равными единице.

Идеальное усилительное звено

Идеальное усилительное (оно же пропорциональное) звено описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка

x=kg.

Передаточная функция W(s) = k, амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) W(j) = k, амплитудная частотная характеристика A() = k, фазовая частотная характеристика () =0.

Идеальное усилительное звено воспроизводит сигналы без изменения их формы. Следует отметить, что линейность реальных усилительных звеньев сохраняется в ограниченном динамическом диапазоне сигналов.

Для широкополосного электронного усилителя коэффициент k - это коэффициент усиления.

Для потенциометра с изменением напряжения от U₁ до U₂ при повороте движка на угол ₀ (радиан)

k = (U₂-U₁)/₀ В/рад.

При измени углового положения движка потенциометра на Δ приращение напряжения на его выходе оказывается равным

ΔU_вых=k·Δ.

Для сельсина, работающего в трансформаторном режиме и запитанного напряжением U=U_mSint, напряжение на выходе U_вых = U_m sintsin, где  - угол рассогласования,  - коэффициент трансформации сельсина. При малых углах рассогласования (sinα≈α), после линейного детектировании и фильтрации сигнал на выходе оказывается равным

U_вых (γ··U_m ) ,

γ – некоторая постоянная.

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка

Дифференциальное уравнение

или, используя символ дифференцирования p = d / dt,

(T₁p+1)x(t)=kg(t).

Примеры апериодических звеньев:

- RC-цепочка и пропорциональное звено с усилением k изображенная и на рисунке.

- наполняемый газом замкнутый объем;

- нагревание (охлаждение) тела;

- термометр и т.п.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Дифференциальное уравнение определяет передаточную функцию звена:

.

Отсюда подстановкой s=j получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику (частотную передаточную функцию) звена

.

Разделим выражение на действительную (U(ω)) и мнимую (V(ω)) части

и представим амплитудно-фазовую частотную характеристику как сумму действительной и мнимой частей;

.

Амплитудная частотная характеристика

.

Фазовая частотная характеристика

.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики при линейных масштабах по обоим осям :

Те же характеристики при логарифмическом масштабе по оси частот и с аппроксимацией асимптотами:

До частоты ω=1/T1 A(ω) ≈20•log(k), а при частотах больших ω=1/T1 (т.н. частоты сопряжения) A(ω) аппроксимируется прямой с наклоном минус 20 дБ на декаду.

Асимптоты ЛФЧХ - при частоте ω_{сопряжения} фазовый сдвиг минус 45°, отрезок наклонная прямой соединяет точки ± 1 декада от частоты сопряжения.

При изменении частоты от =0 до = амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф Найквиста)

Реакция звена на типовые воздействия:

- единичный скачек ;

- прямоугольный импульс ;

- δ – импульс;

- g(t)=vt.

Идеальное интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение

или, используя символическую форму записи

Получим

Частотная передаточная функция идеального интегрирующего звена:

Примеры апериодических звеньев:

- электродвигатель, если можно пренебречь инерцией якоря и постоянной времени обмотки якоря;

- электросчетчик ;

- интегратор на базе операционного усилителя:

,

что соответствует частотной передаточной функции идеального интегратора при k=1/T. Знак минус обусловлен принятым знаком усиления (K<0).

Амплитудная и фазовая частотные характеристики идеального интегратора при линейных масштабах по осям:

Амплитудная, фазовая частотные характеристики в логарифмических масштабах по осям и амплитудно-фазовая частотная характеристика идеального интегратора:

Реакция звена на типовые воздействия:

- единичный скачек;

- прямоугольный импульс;

- дельта–импульс;

- g(t)=vt.

Колебательное звено

Дифференциальное уравнение звена :

причем T₁<2T₂, так, что корни характеристического уравнения - комплексные.

Тогда уравнение можно переписать уравнение в форме

При ζ≥1 звено превращается в т.н. апериодическое звено второго порядка.

Пример колебательного звена – масса на упругом подвесе со слабым скоростным демпфировании (параметр β).

Апериодическое (инерционное) звено второго порядка

Апериодическое звено второго порядка – это последовательное соединение двух апериодических звеньев через звено, обеспечивающее направленность, в данном случае пропорциональное звено с усилением k₀₁.

Далее:

ЛАЧХ, ЛФЧХ, реакция на 1(t), δ(t).

Надо отметить, что передаточная функция последовательного соединения типовых звеньев получается простым перемножением их передаточных функций. Имея передаточную функцию последовательного соединения легко записать дифференциальное уравнение этого соединения:

Откуда, после очевидных преобразований и обратной замены , получим

Примечание. Последовательное соединение двух RC- цепочек описывается

другим дифференциальным уравнением и обладает другими динамическими свойствами.

Примеры физических систем со свойствами апериодического звена второго порядка:

- два однозвенных RC-фильтра, разделенных усилителем;

- термопара в металлическом корпусе.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (красный цвет) и ее аппроксимация асимптотами (черный цвет):

Логарифмическая фазовая частотная характеристика, аппроксимированная асимптотами, для различных значений постоянных времени:

- (1/T11-1/T21)=10⁴ , т.е. четыре декады;

- (1/T1-1/T2)>10⁴ - более четырех декад;

- (1/T1-1/T2)<10⁴ - менее четырех декад;

Инерционное интегрирующее звено

Это последовательное соединение идеального интегрирующего звена и апериодического звена. Передаточная функция – произведение передаточных функций этих двух звеньев:

.

Заменой s→p→, X(s)→x(t), G(s)→g(s) переходим к дифференциальному уравнению инерционного интегрирующего звена:

.

Частотная передаточная функция звена получается заменой s→ω:

.

Амплитудная частотная характеристика звена получается перемножением амплитудных характеристик интегрирующего и апериодического звена:

.

Фазовая частотная характеристика получается суммированием фазовых частотных характеристик интегрирующего и апериодического звена:

Амплитудно-фазовая частотная характеристика:

Идеальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

,

дифференциальное уравнение

,

частотная передаточная функция

,

амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики:

Физическая реализация дифференцирующего звена возможна только в ограниченной полосе частот.

Реакция звена на типовые воздействия:

- единичный скачек;

- прямоугольный импульс;

- g(t)=vt;

- g(t)=at².

- Пример реализации дифференцирующего звена на операционном усилителе.

Частотная передаточная функция

.

На ограниченном интервале частот, для которых | jωT |<<1, выполняется приближенное равенство:

.

Знак минус, обусловленный тем, что K<0, не меняет динамических свойств модели звена, т.к. может быть изменен на знак плюс, включением безынерционного звена с коэффициентом передачи минус 1.

- Тахогенератор.

Инерционное дифференцирующее звено

Передаточная функция

,

дифференциальное уравнение

,

частотная передаточная функция

,

амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики:

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

На рисунке представлены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики, аппроксимированные асимптотами.

Примеры физической реализации:

CR – цепочка;

трансформатор.

Идеальное усилительное звено с введением производной

Дифференциальное уравнение определяет передаточную функцию звена:

.

Отсюда подстановкой s=j получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику (частотную передаточную функцию) звена

.

Амплитудная частотная характеристика

.

Фазовая частотная характеристика

.

Физическая реализация дифференцирующего звена возможна только в ограниченной полосе частот.