![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Свойства интегральных преобразований.
- •Разбиения сау на типовые звенья
- •Типовые воздействия, используемые для исследования динамики сау
- •Логарифмические частотные характеристики
- •Передаточные функции типовых звеньев
- •Использование символической формы.
- •Логарифмическая амплитудная-частотная характеристика (лах) и фазовая-частотная характеристика (лфх)
- •2.4 Апериодическое звено второго порядка.
Интегральные преобразования.
Пусть движение линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
.
В уравнении x(t) – координата системы,g(t) – внешнее воздействие.
Введя обозначение
,
перепишем уравнение
.
(По книге Иванов В.А. и др. “Математические основы теории автоматического регулирования” М., “Высшая школа”, 1971 г.).
Прямое и обратное преобразования Лапласа
.
При этом f(t) называюторигиналом,F(s) –изображениефункцииf(t) по Лапласу. Предполагается, что интеграл прямого преобразования сходится.
Иногда пишут
Два часто встречающиеся изображения
№№ |
Оригинал |
Изображение по Лапласу |
1 |
1(t) |
1/s |
2 |
δ(t) |
1 |
3 |
t, t≥0 |
1/s2 |
Если функция f(t) абсолютно интегрируема, т.е.
,
то она может быть преобразована по Фурье
X(jω) –изображение функцииx(t) по Фурье.
Иногда пишут
.
Свойства интегральных преобразований.
1) Преобразования Лапласа и Фурье линейны, т.е.
2) При
имеют место соотношения
,
Напомним, что
.
3)
4)
Напомним, что
Частотная передаточная функция системы
Обе части дифференциального уравнения системы
преобразуем по Фурье:
Воспользовавшись свойствами преобразования, получим
,
.
Образуем отношение:
.
Функция W(jω) – это амплитудно-фазовая частотная характеристика системы иличастотная передаточная функцией системы, описываемой исходным линейным дифференциальным уравнением. Функция определяет изменение амплитуды и фазы гармонического сигнала с частотой ω при его прохождении через динамическую систему. Пусть на входе системы действует сигнал
.
Тогда на выходе системы в установившемся режимеподучим сигнал
Тогда амплитудная частотная характеристикасистемы
.
Отметим, что для физически реализуемых систем n>m, поскольку при неограниченном увеличении частоты входного амплитуда сигнала на выходе системы0.
Фазовая частотная характеристика системы
.
Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно изобразить на комплексной плоскости.
На рисунка изображена АФЧХ некоторой динамической системы. В этой системе при ω→0 фазовый сдвиг равен нулю φ(ω0)→ 0, а при возрастании частоты входного сигналаA(ω)0, а фазовый сдвиг φ(ω)→ -π.
Частотная передаточная функция последовательного соединения двух динамических систем
Пусть две системы с частотными передаточными функциями W1(jω) иW2(jω) соединены последовательно
Полагается, что системы обладают свойством направленного действия, т.е. вторая система не влияет на свойства первой системы и наоборот. Тогда частотная передаточная функция системы оказывается равной произведению частотных передаточных функций:
.
Амплитудные частотные характеристики систем перемножаются
,
а фазовые сдвиги складываются
.
Разбиения сау на типовые звенья
При анализе САР оказывается удобным вводить в рассмотрение понятие типового звена, как некоторых простейших составных частей динамических элементов системы. Понятие типового звена линейных стационарных систем может быть введено как из формальных математических соображений, так и из соображений технической целесообразности.
Из математических преобразований следует, что передаточная функция динамической системы, может быть записана в виде дроби [5, т.1, с. 271]
,
где i,r - соответственно, корничислителя и знаменателяпередаточной функции. Корни могут быть действительными, комплексно-сопряженные и нулевыми.
Показатель степени - определяет порядокастатизмасистемы, в частности для т.н. статических систем ν=0.
После несложных преобразований можно преобразовать передаточную функцию в форме
Передаточная функция содержитшесть видов сомножителей:
Передаточная функция равнапроизведению (n+m) передаточных функций звеньев шести типов.
Из этого следует, что любую передаточную функцию можно рассматривать как последовательное соединение элементарных типовыхзвеньевнаправленногодействия.
Передаточная функция содержитшесть видов сомножителей:
Заменой s→jωполучается частотная передаточная функция системы. Очевидно, что все сказанное относится и кчастотнымпередаточным функциям.
Системы могут содержать и звенья других типов, например, звено запаздывания с передаточной функцией
,
и некоторые другие.
Представляется целесообразным изучение динамических свойств типовых звеньев и на этой базе исследовать динамические свойства сложных систем..