Интегральные преобразования.

Пусть движение линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

.

В уравнении x(t) – координата системы,g(t) – внешнее воздействие.

Введя обозначение

,

перепишем уравнение

.

(По книге Иванов В.А. и др. “Математические основы теории автоматического регулирования” М., “Высшая школа”, 1971 г.).

Прямое и обратное преобразования Лапласа

.

При этом f(t) называюторигиналом,F(s) –изображениефункцииf(t) по Лапласу. Предполагается, что интеграл прямого преобразования сходится.

Иногда пишут

Два часто встречающиеся изображения

№№	Оригинал	Изображение по Лапласу
1	1(t)	1/s
2	δ(t)	1
3	t, t≥0	1/s2

Если функция f(t) абсолютно интегрируема, т.е.

,

то она может быть преобразована по Фурье

X(jω) –изображение функцииx(t) по Фурье.

Иногда пишут

.

Свойства интегральных преобразований.

1) Преобразования Лапласа и Фурье линейны, т.е.

2) При имеют место соотношения

,

Напомним, что

.

3)

4)

Напомним, что

Частотная передаточная функция системы

Обе части дифференциального уравнения системы

преобразуем по Фурье:

Воспользовавшись свойствами преобразования, получим

,

.

Образуем отношение:

.

Функция W(jω) – это амплитудно-фазовая частотная характеристика системы иличастотная передаточная функцией системы, описываемой исходным линейным дифференциальным уравнением. Функция определяет изменение амплитуды и фазы гармонического сигнала с частотой ω при его прохождении через динамическую систему. Пусть на входе системы действует сигнал

.

Тогда на выходе системы в установившемся режимеподучим сигнал

Тогда амплитудная частотная характеристикасистемы

.

Отметим, что для физически реализуемых систем n>m, поскольку при неограниченном увеличении частоты входного амплитуда сигнала на выходе системы0.

Фазовая частотная характеристика системы

.

Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно изобразить на комплексной плоскости.

На рисунка изображена АФЧХ некоторой динамической системы. В этой системе при ω→0 фазовый сдвиг равен нулю φ(ω0)→ 0, а при возрастании частоты входного сигналаA(ω)0, а фазовый сдвиг φ(ω)→ -π.

Частотная передаточная функция последовательного соединения двух динамических систем

Пусть две системы с частотными передаточными функциями W₁(jω) иW₂(jω) соединены последовательно

Полагается, что системы обладают свойством направленного действия, т.е. вторая система не влияет на свойства первой системы и наоборот. Тогда частотная передаточная функция системы оказывается равной произведению частотных передаточных функций:

.

Амплитудные частотные характеристики систем перемножаются

,

а фазовые сдвиги складываются

.

Разбиения сау на типовые звенья

При анализе САР оказывается удобным вводить в рассмотрение понятие типового звена, как некоторых простейших составных частей динамических элементов системы. Понятие типового звена линейных стационарных систем может быть введено как из формальных математических соображений, так и из соображений технической целесообразности.

Из математических преобразований следует, что передаточная функция динамической системы, может быть записана в виде дроби [5, т.1, с. 271]

,

где _i,_r - соответственно, корничислителя и знаменателяпередаточной функции. Корни могут быть действительными, комплексно-сопряженные и нулевыми.

Показатель степени - определяет порядокастатизмасистемы, в частности для т.н. статических систем ν=0.

После несложных преобразований можно преобразовать передаточную функцию в форме

Передаточная функция содержитшесть видов сомножителей:

Передаточная функция равнапроизведению (n+m) передаточных функций звеньев шести типов.

Из этого следует, что любую передаточную функцию можно рассматривать как последовательное соединение элементарных типовыхзвеньевнаправленногодействия.

Передаточная функция содержитшесть видов сомножителей:

Заменой s→jωполучается частотная передаточная функция системы. Очевидно, что все сказанное относится и кчастотнымпередаточным функциям.

Системы могут содержать и звенья других типов, например, звено запаздывания с передаточной функцией

,

и некоторые другие.

Представляется целесообразным изучение динамических свойств типовых звеньев и на этой базе исследовать динамические свойства сложных систем..