Лекции по ТАУ2 / Лекция №4-1

Передаточные функции типовых звеньев

Передаточные функции линейных звеньев могут быть представлены в виде дроби

,

где N(s) и L(s) – многочлены степеней n и m (n>m) по s.

Линейные звенья, в передаточные функции которых входят многочлены N(s) и L(s) со свободными членами отличными от нуля называют позиционными (или статическими). Обычно соответствующим выбором коэффициента k свободные члены делают равными единице.

Передаточные функции типовых звеньев

Передаточные функции линейных звеньев могут быть представлены в виде дроби

,

где N(s) и L(s) – многочлены степеней n и m (n>m) по s.

Линейные звенья, в передаточные функции которых входят многочлены N(s) и L(s) со свободными членами отличными от нуля называют позиционными (или статическими). Обычно соответствующим выбором коэффициента k свободные члены делают равными единице.

Идеальное усилительное звено

Идеальное усилительное (оно же безынерционное, оно же пропорциональное) звено описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка

x=kg.

Передаточная функция W(s) = k, амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) W(j) = k, амплитудная частотная характеристика A() = k, фазовая частотная характеристика () =0, h(t)=k(t), h₁(t)=k1(t).

Для широкополосного электронного усилителя k - это коэффициент усиления. Для потенциометра с изменением напряжения от U₁ до U₂ при повороте движка на угол ₀ (радиан)

k = (U₂-U₁)/₀ В/рад.

При угле поворота потенциометра равном  на его выходе образуется сигнал U_вых=k.

Для сельсина, работающего в трансформаторном режиме и запитанного напряжением U=U_mSint, напряжение на выходе U_вых = U_m sintsin, где  - угол рассогласования,  - коэффициент трансформации сельсина. При малых углах рассогласования (sinα≈α), после линейного детектировании и фильтрации выходного сигнала на выходе оказывается равным

U_вых (U_m ) .

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка

Дифференциальное уравнение

или, используя символ дифференцирования p = d / dt,

(T₁p+1)x(t)=kg(t).

Примеры апериодических звеньев:

- RC-цепочка с выходным сигналом (pис. 1.1);

- наполняемый газом замкнутый объем;

- нагревание (охлаждение) тела при упрощенном рассмотрении т.д.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Передаточная функция получается подстановкой js:

.

Отсюда получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику звена

.

Разделим выражение на действительную (U(ω)) и мнимую (V(ω)) части

Aмплитудная частотная характеристика, как и раньше,

Представим амплитудно-фазовую частотную характеристику как сумму действительной и мнимой частей;

.

Фазовая частотная характеристика, как и раньше,

.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики про линейном масштабе по обоим осям:

Те же характеристики при логарифмическом масштабе по оси частот и с аппроксимацией асимптотами:

До частоты ω=1/T1 A(ω) ≈20•log(k), а при частотах больших ω=1/T1 (т.н. частоты сопряжения) A(ω) аппроксимируется прямой с наклоном минус 20 дБ на декаду.

Асимптоты ЛФЧХ - при частоте ω_{сопряжения} фазовый сдвиг минус 45°, отрезок наклонная прямой соединяет точки ± 1 декада от частоты сопряжения.

При изменении частоты от =0 до = амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф Найквиста)

Реакция звена на типовые воздействия:

- единичный скачек ;

- прямоугольный импульс ;

- δ – импульс;

- g(t)=vt.

Идеальное интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение

или, используя символическую форму записи

Получим

Частотная передаточная функция идеального интегрирующего звена:

Примеры апериодических звеньев:

- электродвигатель, если можно пренебречь инерцией якоря и постоянной времени обмотки якоря;

- электросчетчик ;

- интегратор на базе операционного усилителя ;

Схема включения операционного усилителя (ОУ) при моделировании (или реализации в составе систем автоматического управления) представлена на рис.1.

ОУ – усилитель постоянного тока с усилением K=-(10⁴..10⁵). Усилитель используется при аналоговом моделировании Схема включения операционного усилителя (ОУ) при моделировании (или реализации в составе систем автоматического управления) представлена на рис.1.

ОУ – усилитель постоянного тока с усилением K=-(10⁴..10⁵). Усилитель используется при аналоговом моделировании САУ (в настоящее время аналоговое моделирование вытеснено моделями на ЦВМ) и при реализации различного вида корректирующих фильтров САУ. Для получения требуемых передаточных функций ОУ в прямую цепь и цепь отрицательной обратной связи включаются сопротивления (в общем случае комплексные), как показано на рисунке.

Эквивалентная схема включения ОУ представлена на рис.2.

при реализации различного вида корректирующих фильтров САУ. Для получения требуемых передаточных функций ОУ в прямую цепь и цепь отрицательной обратной связи включаются сопротивления (в общем случае комплексные), как показано на рис. 1.

Эквивалентная схема включения ОУ :

Из рисунка следует

.

Принимая во внимание, что напряжение ε поступает на вход усилителя с коэффициентом усиления минус K, т.е. U₂ = -K٠ε, получим

,

.

После очевидных преобразований находим, что

.

Тогда частотная передаточная функция операционного усилителя, охваченного отрицательной обратной связью оказывается равной

.

Рассмотрим частный случай включения ОУ. Учитывая, что |K|= (10⁴..10⁵), Z₁(jω)=R, Z₂(jω)=1/jωC и что, следовательно, |Z₁(jω)|>> |(Z₁(jω)+ Z₂(jω))/K| , получаем

,

Рис.3

,

что соответствует частотно передаточной функции идеального интегратора при k=1/T/.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики идеального интегратора при линейных масштабах по осям:

Реакция звена на типовые воздействия:

- единичный скачек;

- прямоугольный импульс;

- дельта–импульс;

- g(t)=vt.

Колебательное звено

Дифференциальное уравнение звена :

причем T₁<2T₂, так, что корни характеристического уравнения - комплексные.

Тогда уравнение можно переписать уравнение в форме

При ζ≥1 звено превращается в т.н. апериодическое звено второго порядка.

Пример колебательного звена – масса на упругом подвесе со слабым скоростным демпфировании (параметр β).

Апериодическое (инерционное) звено второго порядка

Далее:

ЛАЧХ, ЛФЧХ, реакция на 1(t), δ(t).

Надо отметить, что передаточная функция последовательного соединения типовых звеньев получается простхм перемножением их передаточных функций. Имея передаточную функцию последовательного соединения легко записать дифференциальное уравнение этого соединения:

Откуда, после очевидных преобразований и обратной замены , получим

Апериодическое звено второго порядка:

- два однозвенных RC-фильтра, разделенных усилителем;

- термопара в металлическом корпусе и т.п.

-

(рисунки в файле temp.mcd)