Передаточные функции типовых звеньев

Передаточные функции линейных звеньев могут быть представлены в виде дроби

,

где N(s) и L(s) – многочлены степеней nиm(n>m) поs.

Линейные звенья, в передаточные функции которых входят многочлены N(s) и L(s) со свободными членами отличными от нуля называют позиционными (или статическими). Обычно соответствующим выбором коэффициента kсвободные члены делают равными единице.

Идеальное усилительное звено

Идеальное усилительное (оно же безынерционное, оно же пропорциональное) звено описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка

x=kg.

Передаточная функция W(s) = k, амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) W(j) = k, амплитудная частотная характеристика A() = k, фазовая частотная характеристика() =0, h(t)=k(t), h₁(t)=k1(t).

Для широкополосного электронного усилителя k - это коэффициент усиления. Для потенциометра с изменением напряжения от U₁до U₂при повороте движка на угол₀(радиан)

k = (U₂-U₁)/₀ В/рад.

При угле поворота потенциометра равном на его выходе образуется сигнал U_вых=k.

Для сельсина, работающего в трансформаторном режиме и запитанного напряжением U=U_mSint, напряжение на выходе U_вых=U_m sintsin, где- угол рассогласования,- коэффициент трансформации сельсина. При малых углах рассогласования (sinα≈α), после линейного детектировании и фильтрации выходного сигнала на выходе оказывается равным

U_вых(U_m ) .

Апериодическое (инерционное) звено.

Дифференциальное уравнение

или, используя символ дифференцирования p = d / dt,

(T₁p+1)x(t)=kg(t).

Без потери общности результатов можно положить k=1, еслиk≠1, то можно положить, что рассматривается последовательное соединение пропорционального с усилениемkи апериодического звеньев

Пусть

g(t) =U₁sint.

Ищем установившийсясигнал на выходе звена в виде

x(t)=U₂sin(t+),

где U₁ >0 – амплитуда сигнала на входе системы, U₂>0 - амплитуда сигнала на выходе системы,- фаза сигнала на выходе звена. Подставив x(t) в уравнение звена, получим

Поскольку sint и cost ортогональные функции, то суммы их коэффициентов в обоих частях равенства должны быть равны:

Из первого равенства получаем фазовую частотную характеристику звена

()= -arctg(T₁).

Из второго равенства ,сделав подстановку -T₁= sin/cos, получим

Откуда амплитудная частотная характеристика звена

Здесь использовано соотношение

Использование символической формы.

Переход к символической форме записи гармонических сигналов может быть выполнен с помощью следующего приема (В.Л.Перов,с. 184).

Умножая первое дифференциальное уравнение на мнимую единицу и складывая уравнения, получим

Откуда

К тому же результату, но более коротким путем, можно прийти, сразу использовав символическую запись гармонического сигнала, то есть, представив входное воздействие в виде:

Здесь, как и ранее, точка сверху обозначается комплексная переменная.

Тогда реакцию звена на это воздействие можно представить в виде

.

Символичесая запись гармонического сигнала основана на его представлении в виде суммы

.

Поскольку рассматриваемое звено линейно и, следовательно, для него верен принцип суперпозиции, то

- умножение входного сигнала на постоянный коэффициент (в данном случае это 1/2j) не влияет ни на амплитудную ни на фазовую частотные характеристики;

- для определения реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно рассмотреть прохождение лишь одного из двух идентичных сигналов (exp(jt) или exp(-jt)).

Геометричеки exp(jt) и exp(-jt)изображаются как два единичных вектора, вращающихся при изменении переменной t в противоположных направлениях.

Тогда, подставив ив дифференциальное уравнение, сократив множитель e^jt получим

Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Отсюда получаем так называемую амплитудно-фазовую частотную частотную характеристику звена

.

Передаточная функция получается подстановкой js:

.

Aмплитудная частотная характеристика, как и раньше,

Представим амплитудно-фазовую частотную частотную характеристику как сумму действительной и мнимой частей;

.

Фазовая частотная характеристика, как и раньше,

.

При изменении частоты от =0 до=амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф Найквиста) - нижняя полуокружность (рис.2). При изменении частоты от=0 до=-получается верхняя полуокружность.

Обычно ограничиваются исследованием амплитудно-фазовой частотной характеристики для положительных частот, так как при <0 - получаются комплексно-сопряженные значения W(j).