8

Качество переходного процесса

Критерии качества переходного процесса во времени

В качестве испытательного сигнала для оценки качества переходного процесса обычно используют единичный скачек воздействия. Типовой график переходного процесса представлен на рис. 1.

Переходный процесс характеризуется:

• Длительностью переходного процесса (t _п), то есть временем от начала переходного процесса до момента, начиная с которого выходная величина остается в пределах % от установившегося значения (обычно, %=5%).

• Максимальным отклонением регулируемой величины (x_max) или величиной ) - перерегулированием. Перерегулирование может быть выражено в процентах от установившегося значения )

.

Обычно перерегулирование лежит в пределах 10..30%, в некоторых случаях допускается перерегулирование до 70% [2].

- Временем нарастания выходного сигнала (t_н). В точке x(t)=x(t)/2 строят касательную к x(t)и определяют временя нарастания, как показано на рис.1.

- Колебательностью, то есть числом колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса (обычно, 1..2 колебания, иногда - и 3..4 колебания). В некоторых с системах колебания на допускаются вообще [2].

Используются и другие критерии оценки переходных процессов (например, время запаздывания).

Те же критерии оценки применимы и для случая x(t)=0.

Корневые критерии качества регулирования

Передаточная функция замкнутой САУ может быть представлена в виде

.

Здесь _j и _i - нули и полюсы передаточной функции, соответственно, а отношение b₀/a₀ - постоянный множитель (коэффициент усиления системы).

Примечание. Предупреждение о возможных ошибках в [8, т.1, стр.64].

При исследовании устойчивости достаточно исследовать полюсы передаточной функции (корни характеристического уравнения). На качество переходного процесса влияет расположение как полюсов так и нулей (корней числителя) передаточной функции. Только в частном случае, когда

качество переходного процесса целиком определяется только полюсами передаточной функции. Рассмотрим этот частный случай. Как известно, переходный процесс описывается выражением

Постоянные C_i зависят от начальных условий и от точки приложения возмущающего воздействия. Корни характеристического многочлена устойчивой системы (_i) имеют отрицательные действительные и могут быть действительными или попарно сопряженными комплексными. Как уже отмечалось, качество переходного процесса можно оценить его длительностью и колебательностью. Эти показатели определяются расположением нулей и полюсов передаточной функции Ф(s).

Длительность переходного процесса

Длительность переходного процесса определяет слагаемое с минимальной по модулю действительной частью.

Поскольку _i = _i + j_i ( для устойчивой системы _i < 0), то выбрав минимальное среди всех  = _i_min определим минимальное расстояние от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней, которое является оценкой длительности переходного процесса. Время затухания самой медленно затухающей составляющей T_зат  3/ может служить для оценки времени переходного процесса.

Если минимальную по модулю действительную часть имеет пара комплексных корней, то доминирующей составляющей переходного процесса будет колебательная (говорят, что  - колебательная степень устойчивости [1]), если ближайшим к мнимой оси окажется действительный корень, то доминирующей составляющей переходного процеса будет апериодическая.

Расстояние от мнимой оси до ближайшего корня - это мера удаления системы от границы устойчивости.

Для быстрой оценки модулей корней характеристического уравнения можно воспользоваться следующим методом [10, стр. 369]. Для характеристического уравнения

D()=a₀ⁿ+a₁^n-1+...a_n-1+a_n=0.

образуется последовательность

.

Если все коэффициенты положительны, то модули всех корней удовлетворяют неравенству min(_i)< z< max(_i).

На комлексной плоскости эти неравенства определяют кольцо, а для устойчивых систем - полукольцо в левой полуплоскости, где располагаются все корни уравнения (напомним, что положительность коэффициентов - условие необходимое, но недостаточное для устойчивости).

Колебательность переходного процесса

(степень колебательности)

Пара сопряженных корней с разными, в общем случае, постоянными интегрирования дают составляющую переходного процесса вида

C_iexp[(_i +j_i )t]+ C_i+1 exp[(_i -j_i)t] =

C_i0exp(-_it)sin(_it+).

Если в качестве оценки быстроты затухания колебаний (колебательности) взять отношение амплитуд затухающих гармонических колебаний, отстоящих друг от друга на период =2/_i [1], то оно окажется равным

exp(-2_i/_i).

Наиболее “колебательной” является та составляющая, у которой максимально отношение

.

Эта составляющая до затухания совершает наибольшее число колебаний. Величина  называется степенью колебательности .

Линии =const на комплексной плоскости корней образуют центральный угол =2arctg, внутри которого при заданной степени колебательности должны лежать корни характеристического уравнения замкнутой системы. Если к этому добавить и требование степени устойчивости, то получим область, внутри которой должны лежать все корни (выделена на рис.2).

Величины  и  можно выразить через параметры САУ, то есть через коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы. Это позволяет исследовать зависимость этих показателай от параметров САУ и оценивать их допустимые значения по зтим показателям.

При отношении =/ = /2 за один период колебаний амплитуда затухает на 98%. Действительно,

exp(-22/)=e^-4=0.018.

Оценки  и  - это верхние оценки. В действительности переходный процесс может оказаться лучше, если постоянные нитегрирования (С_i), соответствующие  и , малы.

Обычно при варьировании параметров выбирают из всех корней знаменателя Ф(s) два или три основных корня, которые будут определять качество переходного процесса. Остальные корни задвигают в глубь левой полуплоскости, добиваясь увеличения модуля их действительной части. Этот метод приводит к так называемому правилу Ишлинского (Кузовков Н.Т. стр.235, 332):

Если в замкнутой системе высокого порядка между входной и выходной величиной существует единичная обратная связь, то в первом приближении эта система ведет себя как система второго или третьего порядка.

Существует т.н. метод корневого годографа , который позволяет строить траектории полюсов и нулей передаточной функции в зависимости от изменения варьируемых параметров САУ.

Все сказанное верно, если у передаточной функции нет нулей. При наличии нулей оценка качества переходного процесса только по полюсам может дать большую ошибку. Тем не менее при прочих равных условиях переходный процесс тем лучше, чем больше  и меньше . Это обстоятельство следует учесть при выборе значений варьируемых параметров САУ.

Наличие нулей передаточной функции приводит, в частности, и к тому, что качество переходного процесса изменяется при изменении точки приложения возмущения (например, при изменении уставки и при приложении какого-либо внешнего возмущения).