Логарифмическая амплитудная-частотная характеристика (лах) и фазовая-частотная характеристика (лфх)

.

Эта характеристика имеет две асимптоты. При T₁<<1 ЛАХ приближенно равна L ()20lgk так, что на интервале частот от=0 до₁=1/T₁логарифмическая частотная характеристика может быть заменена прямой параллельной оси абсцисс (первая асимптота).

При T₁>>1 логарифмическая частотная характеристика может быть заменена прямой с наклоном -20 дБ/дек (вторая асимптота) L()20lgk-20lg(T₁). Асимптоты пересекаются при=1/T₁=₁. Действительно, при T₁=1 L()=20lgk. Частота₁=1/T₁ называетсячастотой сопряжения.

Без потери общности можно положить k=1. ЛАХ для этого случая представлена на рис. 2.4. Приk1 ЛАХ смещается вдоль осиL() наLm(k).

При= 1/T₁полагаем Lm() = 20lgk, так, что две асимптоты сопрягаются. Частота_c =1/T₁называетсясопрягающей. В точке сопряжения разность между асимптотами и самой характеристикой максимальна и составляет 3 дБ. Этой разницей в инженерных расчетах пренебрегают. Вторая асимптота имеет наклон -20 дБ на декаду.

Если частоту откладывать в логарифмическом масштабе, а фазовый сдвиг в линейном, то графики зависимостей фазового сдвига от частоты

() = - arctgT₁= - arctg(/_с)

для разных сопрягающих частот (_с) получаются простым смещением по оси частот одной и той же кривой [2,стр.163]. Более того, как и амплитудные характеристики, логарифмические фазовые характеристики (ЛФХ) можно аппроксимировать тремя асимптотами [8]: через точку с координатами (=1/T,()=45) проводится отрезок прямой с наклоном минус 45 градусов на декаду до пересечения с прямыми()=0 и()=90(рис. 2.4). Этот отрезок аппроксимирует ЛФХ на интервале частот от=0.1T^-1до=10T^-1. Для<0.1T^-1полагается()0, а для>10T^-1-()90. Погрешность от такой аппроксимации не превышает 6…8 градусов.

Если k>1, то асимптота с наклоном –20 Дб/дек пересекает ось частот в точке, называемой частотой среза (_с), которая определяется из уравнения из уравнения

A() = 1, что соответствует L () = 0.

Приближенное равенство справедливо при k>>1, что обычно имеет место. Чем больше усиление k ,тем выше частота среза, тем больший диапазон частот “пропускает” звено.

Переходная функциязвена (реакция на x₁(t) = 1(t))

h₁(t) = k (1-exp(-t / T₁)), t > 0,

а весовая функция (реакция на x₁(t)=(t))

.

Неустойчивое апериодическое звено

Дифференциальное уравнения

.

Передаточная функция

Амплитудная характеристика совпадает с АЧХ устойчивого звена

,

но фазовая характеристика существенно отличается от ФЧХ устойчивого звена [5, т. 1]:

. При малых частотах фазовый сдвиг стремится к минус, а при больших – к минус/2.

2.4 Апериодическое звено второго порядка.

Дифференциальное уравнение

.

Характеристическое уравнение и его корни

Апериодическое звено второго порядка имеет действительные корни характеристического уравнения. Для этого должно выполняться условие

.

Вставить переходную и весовую функцию.

При выполнении этого условия характеристическое уравнение может быть представлено в виде произведения

причем постоянные времени T3 иT4 находятся из уравнений

.

Передаточная функция апериодического звена второго порядка

может быть представлена как произведения передаточных функций двух апериодических звеньев с общим коэффициентом усиления k:

.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается, если положить s=j:

.

Частотную передаточную функцию можно представить в виде

W(j)=U()+jV().

Из полученного выражения следует, что

- при =0 и при=W(j)=0,

- при =1/(T₃T₄)^-1/2действительная часть Re[W(j)]=0 и фазовый сдвиг в системе на этой частоте равен -/2,

- при >1/(T₃T₄)^-1/2действительная (U()) и мнимая (V()) части передаточной функции отрицательны и, следовательно, фазовый сдвиг в апериодическом звене второго порядка()</2 (годограф приtпроходит через третий квадрант).

По этим данным можно качественно определить вид амплитудно-фазовой частотной характеристики звена (рис. 3).

Амплитудно-частотная, амплитудная и фазовая частотные характеристики звена - произведение амплитудных частотных характеристик двух апериодических звеньев:

,

.

Сопрягающие частоты, полагая для определенности, что T₃>T₄,₁=1/T₃,₂=1/T₄. При=(₁₂)^1/2=1/T₂то есть на среднегеометрической частоте,()=-90^o. Максимальный фазовый сдвиг lim_()=-180^o.

Выделение апериодическое звено второго порядка как отдельного типового звена оправдано тем, что в ряде случаев физически - это один элемент САУ (например, два сообщающиеся объема, наполняемых газом под давлением, электрический двигатель постоянного тока и др. [2]).

Логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики представлены на рис. 4.