Лекции по ТАУ2 / Лекция №8

6

Устойчивость САР

При рассмотрении критерия устойчивости Найквиста были введены понятия запасов устойчивости по модулю (амплитуде) и по фазе. Эти показатели можно рассматривать как простейшие оценки качества переходного процесса - при запасах 6 дБ по модулю и 40 градусов по фазе можно ожидать, что перерегулирование и время окончания переходного процесса будут относительно небольшими.

Недостатком критериев запаса устойчивости по модулю (амплитуде) и по фазе является то, что устойчивость оценивается двумя числами. Кроме того запасы устойчивости не связаны определенными соотношениями с показателями качества переходного процесса.

Устойчивость систем автоматического

регулирования

Определение устойчивости линейной невозмущенной системы, то есть системы, при нулевом входном сигнале (g(t)0).

Линейная невозмущенная система:

Линейная система устойчива, если переходный процесс в системе затухает с течением времени, т.е. если собственное (свободное) движение системы

x(t)→0 при t→.

Под устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. При n3 оно недостаточно. Как будет показано ниже на ряде примеров САУ третьего порядка (n=3) может оказаться неустойчивой и при положительных коэффициентах дифференциального уравнения.

Если _i=_i+_i - корень характеристического уравнения (i=1..n)

,

то условие устойчивости системы - расположение корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексного нпременного  (α_i<0).

Это очевидно из равенства

.

(для упрощения предполагается, что у характеристического уравнения нет кратных корней).

Критерии устойчивости позволяет судить об устойчивости системы, не вычисляя корни характеристического уравнения.

Критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения (критерий Гурвица и др). Из эти критериев не следуют рекомендации как изменить параметры системы для получения желаемых свойств системы.

Частотные критерии (Найквиста, Михайлова) наглядны, позволяют судить о качестве процесса управления, позволяют использовать частотные характеристики полученные экспериментально. Наибольшее распространение в инженерной практике получил критерий устойчивости Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить по частотным характеристикам разомкнутой системы об устойчивости и качестве управления при замыкании системы.

Критерий Найквиста

Пусть W(jω) – частотная передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления. Разомкнутую систему полагаем устойчивой. Представляем частотную передаточную функцию в виде суммы действительной и мнимой частей

W(j) = U()+jV().

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой систем необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф векторной функции W(j)) не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1+j0).

Физический смысл критерия (во всяком случае, для простых систем) очевиден:

При изменении частоты входного сигнала в пределах от нуля до бесконечности не должно быть частоты, для которой при фазовом сдвиге 180° амплитуда сигнала на выходе системы оказалась бы больше амплитуды сигнала на ее входе.

При 180-градусном сдвиге обратная связь на частоте ₀ превращается из отрицательной в положительную. Если к тому же модуль , то создаются условия для возникновения колебаний на этой частоте.

Если амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет "клювообразный" вид, то тогда числа положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) пересечений оси абсцисс должны быть равны. В этом случае система может оказаться неустойчивой как при увеличении так и при уменьшении коэффициента усиления в системе.

Системы, которые устойчивы при значениях общего коэффициента усиления, лежащем в определенных пределах, называются условно устойчивыми. Системы, которые устойчивы при любом значении общего коэффициента усиления, лежащем ниже некоторого максимально допустимого значения, называются абсолютно устойчивыми [2].

При использовании критерия устойчивости Найквиста необходимо убедиться в устойчивости разомкнутой системы. Неустойчивость разомкнутой САР может быть следствием наличия местных обратных связей. Проверка устойчивости местных замкнутых контуров может быть сделана с помощью любых критериев устойчивости (в том числе и с помощью критерия Найквиста). Другой причиной неустойчивости разомкнутой САР может быть включение в систему неустойчивых звеньев, например, неустойчивого колебательного звена и т.п. Вообще говоря, этого по возможности надо избегать, но в некоторых случаях это неизбежно. Так при разработке САР для магнитной подвески включение магнитной цепи с регулируемым зазором обязательно. Но это неустойчивое звено - чем меньше зазор тем, при отсутствии насыщения, больше сила притяжения.

С некоторыми усложнениями критерий Найквиста можно применять и к неустойчивым в разомкнутом состоянии САР .

Если САР астатическая, т.е. имеет интегрирующие звенья, то в разомкнутом состоянии она нейтральна, т.е. с течением времени не стремится к какому-то определенному положению (угол поворота оси двигателя остается произвольным при отсутствии напряжения на его входе). Сформулированный критерий справедлив и для этого случая, если вспомнить (см. Файл LINKS.DOC), что идеальное интегрирующее звено может быть получено из апериодического предельным переходом. При этом к годографу Найквиста надо добавить дугу окружности бесконечного радиуса.

Физический смысл критерия для простейших случаев (имеется ввиду т.н абсолютно устойчивые системы) совершенно очевиден: среди всех частот от =0 до = не должно быть ни одной частоты ₀, которая при замыкании САР поступит на вход усиленной по амплитуде ( и с фазовым сдвигом 180 градусов ( ₀()=  и точка -1+j0).

При 180-градусном сдвиге обратная связь на частоте ₀ превращается из отрицательной в положительную. Если к тому же модуль , то создаются условия для возбуждении колебаний на этой частоте.

Достоинством критерия Найквиста заключается в том, что для определения устойчивости САР можно использовать экспериментально полученные амплитудно-фазовые характеристики. Это ценно в случае, когда ввиду сложности системы или ее звена получить соответствующее дифференциальное уравнение не представляется возможным.

Из критерия Найквиста следует метод логарифмических частотных характеристик, который в ряде случаев позволяет оценить устойчивость и САР, качество регулирования и синтезировать корректиреющие звенья почти без вычислительной работы.

В случае многоконтурной САР ее размыкание для получения передаточной функции разомкнутой системы может быть сделано в произвольном месте. Если, однако, с системе имеется один вход и один выход, то при размыкании системы на входе первого звена получим главную передаточную функцию разомкнутой системы, связывающую входной и выходной сигналы. Именно эта передаточная функция рассматривается при определении качества регулирования и при синтезе корректирующих звеньев.

Годограф устойчивой в замкнутом состоянии САР позволяет оценивать и качество регулирования по запасам устойчивости по фазе и по усилению.

Запасом устойчивости по амплитуде (усилению) - это расстояние между критической точкой (-1,j0) и ближайшей к ней точкой пересечения годографа с отрицательной полуосью абсцисс. Для хорошо демпфированных систем этот запас более 6 дБ [4,5].

Запас устойчивости по фазе (₀ ) - это угол между вектором W(j_c) (_c - частота среза, W(j_с)=1) и отрицательной полуосью абсцисс.

Его определяют как угол ₀=180-₀(_с) градусов. В хорошо демпфированных системах этот угол лежит в пределах 30-60 градусов. Если на частоте среза фазовый сдвиг меньше 180 градусов, то говорят об избытке фазы [5]. В соответствии с заданными запасами устойчивости можно определить запретную область, которую не должен пересекать годограф.

Для условно устойчивых САУ запас устойчивость по модулю определяется с двух сторон - запас при увеличении и запас при уменьшении усиления.

Определение устойчивости по логарифмическим

частотным характеристикам

Для определения устойчивости по критерию Найквиста вместо годографа передаточной функции W(j) = U()+jV(), строят и анализируют совместно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

L()=20lgW(j)=20lgA()

и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ) ()

В соответствии с критерием Найквиста фазовый сдвиг при частоте среза не должен быть равен 180 градусам. Если (_c)>-/2 (например, (_c)= -120 градусов), то говорят, что система имеет избыток фазы. Избыток фазы означает, что система допускает появление некоторого дополнительного запаздывания без потери устойчивости. Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ позволяет судить об устойчивости САР, запасах устойчивости, а также, как это будет показано позже, синтезировать корректирующие звенья для улучшения качества регулирования.