Инерционное звено второго порядка

Инерционное звено второго порядка – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:

гдеk, T– соответственно коэффициент усиления и постоянная времени звена; -  коэффициент демпфирования.

Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена:

.                                         (2.51)

Примерами реализации инерционного звена второго порядка являются RLC-контур, со­стоящий из катушки индуктивности, резистора и конден­сатора, или физический маятник.

Амплитудно-  и  фазо-частотная характеристики:

A(ω); .               (2.52)

В зависимости от значения коэффициента демпфирования  свойства инерционного звена второго порядка изменяются настолько существенно, что при различных значениях это звено имеет различные названия:консервативное, колебательноеилиапериодическое звено второго порядка.

1)      Консервативное звено:,  передаточная функция (2.51) принимает вид:

.                                                   (2.53)

При этом ее полюса чисто мнимые: .

В соответствии с (2.15) и (2.23) выражения  переходной функции и функции веса консервативного звена:

; =.

1)      Колебательное звено: ,  полюса передаточной функции (2.51) – комплексно-сопряженные числа. С учетом (2.52) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звена примет вид:

.

Кусочно-асимптотическая ЛАЧХ звена состоит из двух участков. На низкочастотном участке до частоты сопряжения уравнение горизонтальной асимптоты:

,

а в диапазоне частот много больше частоты сопряжения уравнение высокочастотной асимптоты:

Последнее уравнение – это уравнение прямой с наклоном  -40 дБ/дек.

В окрестности частоты сопряжения график ЛАЧХ колебательного звена при имеет амплитудный всплеск («горб»), величина которого тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования . У консервативного звена  при амплитудный всплеск вырождается в разрыв непрерывности.

Выражения  переходной функции и функции веса колебательного звена:

;

= ;

где  .

2)      Апериодическое звено второго порядка: ,  полюса передаточной функции (2.51) – действительные числа, поэтому переда­точную функцию звена можно представить в следующем виде:

.                                       (2.54)

Очевидно, что между коэффициентами передаточных функций (2.51) и (2.54) существуют следующие зависимости:

и .

Уравнения логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик:

;

.

Выражения для временных характеристик апериодического звена второго порядка:

;

= .

 

Графики логарифмических  амплитудно- и фазочастотной характеристик инерционного звена второго порядка для различных значений коэффициента демпфирования  приведены на рис. 2.18; графики временных характеристик  – на рис. 2.19.

Звено чистого запаздыва­ния

Звено чистого запаздыва­ния – это звено, выходной сигнал которого полностью совпадает по форме с  входным сигналом,  но отстает от него  на время , т.е.

.

На основании теоремы запаздывания (2.11): . Следовательно, передаточная функ­ция звена имеет вид:

,

где  – время запаздывания.

Частотные характеристики для звена чистого запаздыва­ния: 

cos(ω) – j sin (ω);

т.е.        P(ω) = cos(ω)          и        Q(ω)= – sin (ω);

A(ω)= 1,              ω,            .

На рис.2.20 приведен график переходной функции звена, на рис.2.21 – годограф АФХ, а на рис. 2.22 – логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики.