- •Гринфельд г.М. - Теория автоматического управления Оглавление
- •1. ОсновНые понятия и определения теории автоматического управления
- •1.1. Обобщенная структурная схема сау
- •1.2. Классификация сaу
- •2. Математическое описание линейных сау
- •2.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений сау
- •2.2. Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения сау. Передаточные функции линейных звеньев и систем
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •Изображения по Лапласу типовых сигналов
- •2.3. Временные и частотные характеристики звенев и систем
- •2.4. Элементарные звенья систем автоматического управления
- •Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звено
- •Интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Инерционное звено второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •Интегро-дифференцирующее звено порядка
- •Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •2.5. Неминимально-фазовые звенья
- •2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных сау
- •2.7. Передаточные функции многоконтурных систем
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Анализ устойчивости линейных сау
- •3.1. Понятие устойчивости линейных систем
- •3.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •3.3. Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста
- •3.4. Запасы устойчивости
- •3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам
- •3.6. Устойчивость систем с запаздыванием
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Качество динамических характеристик сау
- •4.1. Показатели качества процесса регулирования
- •4.2. Частотные критерии качества
- •4.3. Корневые критерии качества
- •4.4. Интегральные критерии качества
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Оценка точности сАу
- •5.1. Стационарные режимы сау. Передаточные функции статических и астатических систем
- •5.3. Системы комбинированного управления
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Анализ сау в пространстве состояния
- •6.1. Основные положения метода переменных состояния
- •6.2. Способы построения схем переменных состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод параллельного программирования
- •Метод последовательного программирования
- •6.3. Решение уравнений состояния линейных стационарных сау. Вычисление фундаментальной матрицы
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Коррекция линейных сАу
- •7.1. Цели и виды коррекции
- •Последовательные корректирующие звенья
- •Параллельные корректирующие звенья
- •7.2. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •Построение лах в низкочастотном диапазоне
- •Построение лах в среднечастотном диапазоне
- •Зависимость колебательности от значений hи h1
- •Построение лах в высокочастотном диапазоне
- •7.3. Последовательные корректирующие устройства
- •7.4. Параллельные корректирующие устройства
- •7.5. Техническая реализация корректирующих звеньев
- •Пассивные четырехполюсники постоянного тока
- •Пассивные корректирующие четырехполюсники
- •Активные корректирующие звенья
- •Активные четырехполюсники постоянного тока
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Нелинейные системы автоматического управления
- •8.1. Особенности нелинейных систем и методы их анализа
- •8.2. Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости
- •8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев
- •Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей
- •Вопросы для самопроверки
- •Курсовая работа
- •Задание для расчета линейной caу
- •Варианты задания для расчета линейной сау
- •Варианты передаточных функций линейной сау
- •Задание для расчета нелинейной сау
- •Варианты задания для расчета нелинейной сау
- •Варианты структурных схем нелинейных систем
- •Варианты статических характеристик нелинейного элемента
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
1. Линейность преобразования.Для любых постоянных и
. (2.8)
2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, т.е. обладает указанными тремя свойствами, то , где =, . И вообще, еслиn-я производная является функцией-оригиналом, то
,
где ,k=0,1,…n-1.
Если начальные условия нулевые, т.е. , то последняя формула принимает вид:
. (2.9)
Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию соответствует умножение изображения на р.
3. Интегрирование интеграла.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения нар:
. (2.10)
4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа
. (2.11)
1. Теорема умножения изображения.Если и – оригиналы, и – их изображения, то
. (2.12)
Интеграл правой части равенства называют сверткой функций и и обозначают:
=.
2. Теоремы о предельных значениях. Если – оригинал, а – его изображение, то
, (2.13)
и при существовании предела
. (2.14)
7. Теорема разложения. Если изображение сигнала представляет собой дробно-рациональное выражение, т.е.
,
причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя и все n корней уравнения простые, то для нахождения оригинала, соответствующего изображению , может быть использована формула (формула разложения):
(2.15)
где - корень уравнения , .
В таблице 2.1 приведены выражения изображения Лапласа для некоторых типовых сигналов.
Таблица 2.1
Изображения по Лапласу типовых сигналов
Оригинал |
Изображение |
Оригинал |
Изображение |
δ(t) |
1 |
|
|
1(t) |
|
sin() |
|
|
|
cos() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.5) и считая начальные условия нулевыми, получим следующее операторное уравнение, связывающее изображения входного и выходного сигналов системы:
..+++..+(2.16)
или
,
где А(p)=;В(р)= .
Введем в рассмотрение передаточную функцию звена (или системы) равную отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях:
. (2.17)
Из выражений (2.16) – (2.17) следует, что и
. (2.18)
Выражение (рис. 2.18) связывает изображение выходного сигнала системы с изображением входного сигнала. Передаточная функция W(p)характеризует динамические свойства САУ, она не зависит от входного сигнала и полностью определяется коэффициентами и , а те, в свою очередь, – параметрами и структурой системы.
Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:
. (2.19)
Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не превышает степени полинома знаменателя. Это условие называютфизической реализуемостью САУ; оно означает, что нельзя создать систему, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.
Корни полинома числителя передаточной функции (2.19) называют нулями, а корни полинома знаменателя –полюсамиСАУ. При анализе САУ нули и полюсы (особенностипередаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексногопеременного (рис. 2.2). Так как коэффициенты передаточной функции – действительные числа, то нули и полюсы могут быть только вещественными () либо комплексно-сопряженными ( и ) величинами. Если передаточная функция звена или системы не содержит особенностей в правой части плоскости , то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.