- •Гринфельд г.М. - Теория автоматического управления Оглавление
- •1. ОсновНые понятия и определения теории автоматического управления
- •1.1. Обобщенная структурная схема сау
- •1.2. Классификация сaу
- •2. Математическое описание линейных сау
- •2.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений сау
- •2.2. Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения сау. Передаточные функции линейных звеньев и систем
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •Изображения по Лапласу типовых сигналов
- •2.3. Временные и частотные характеристики звенев и систем
- •2.4. Элементарные звенья систем автоматического управления
- •Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звено
- •Интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Инерционное звено второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •Интегро-дифференцирующее звено порядка
- •Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •2.5. Неминимально-фазовые звенья
- •2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных сау
- •2.7. Передаточные функции многоконтурных систем
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Анализ устойчивости линейных сау
- •3.1. Понятие устойчивости линейных систем
- •3.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •3.3. Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста
- •3.4. Запасы устойчивости
- •3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам
- •3.6. Устойчивость систем с запаздыванием
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Качество динамических характеристик сау
- •4.1. Показатели качества процесса регулирования
- •4.2. Частотные критерии качества
- •4.3. Корневые критерии качества
- •4.4. Интегральные критерии качества
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Оценка точности сАу
- •5.1. Стационарные режимы сау. Передаточные функции статических и астатических систем
- •5.3. Системы комбинированного управления
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Анализ сау в пространстве состояния
- •6.1. Основные положения метода переменных состояния
- •6.2. Способы построения схем переменных состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод параллельного программирования
- •Метод последовательного программирования
- •6.3. Решение уравнений состояния линейных стационарных сау. Вычисление фундаментальной матрицы
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Коррекция линейных сАу
- •7.1. Цели и виды коррекции
- •Последовательные корректирующие звенья
- •Параллельные корректирующие звенья
- •7.2. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •Построение лах в низкочастотном диапазоне
- •Построение лах в среднечастотном диапазоне
- •Зависимость колебательности от значений hи h1
- •Построение лах в высокочастотном диапазоне
- •7.3. Последовательные корректирующие устройства
- •7.4. Параллельные корректирующие устройства
- •7.5. Техническая реализация корректирующих звеньев
- •Пассивные четырехполюсники постоянного тока
- •Пассивные корректирующие четырехполюсники
- •Активные корректирующие звенья
- •Активные четырехполюсники постоянного тока
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Нелинейные системы автоматического управления
- •8.1. Особенности нелинейных систем и методы их анализа
- •8.2. Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости
- •8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев
- •Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей
- •Вопросы для самопроверки
- •Курсовая работа
- •Задание для расчета линейной caу
- •Варианты задания для расчета линейной сау
- •Варианты передаточных функций линейной сау
- •Задание для расчета нелинейной сау
- •Варианты задания для расчета нелинейной сау
- •Варианты структурных схем нелинейных систем
- •Варианты статических характеристик нелинейного элемента
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
3.4. Запасы устойчивости
Впроцессе эксплуатации САУ ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за изменения внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то исходная устойчивая система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенныезапасы устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W(jω) к точке с координатами (-1,j0).
Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте срезаωсикритической частоте ωкр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критической частоте фазо-частотная характеристика этой системыφ(ω) принимает значение, равное -π.
Запас устойчивости по фазеΔφпоказывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте срезаωсотличается от -π (рис. 3.9):
Δφ = π – .
Величина запаса устойчивости по усилениюможет быть определена на частотеωкр, как разность:
= 1 – |W(jωкр)|,
либо как отношение
α = 1/ |W(jωкр)|.
Во втором случае величина запаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Системы, годографы W(jω) которых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.10, а), называют абсолютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.
Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкнутой системы пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами (-1,j0), то систему называютусловно устойчивой(рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для нормальной работы САУ необходимо, чтобы запас устойчивости по усилению αбыл не менее двух, а запас устойчивости по фазе – от 0,5 до 1 рад.
3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам
Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годографW(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами (-1,j0), для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ωс<ωкр.
|
|
|
На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).
По L(ω) и φ(ω) разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазеΔφотсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте срезаωс, а запас устойчивости по усилениюΔLравен значению ЛАХ на критической частотеωкр, взятому с обратным знаком, т.е.ΔL= |L(ωкр)| (см. рис. 3.11, а).
Если ωс=ωкр, то система находится на границе устойчивости.
Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равнымΔL, то величина критического коэффициента усиленияkкрможет быть вычислена по формуле:
20lg kкр = 20lg k + ΔL.
Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода. При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой -π, при условии, что на частоте, при которойφ(ω)= – π, ЛАХ положительна.
Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графикаφ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частотыω пересечение этого уровня происходит снизу вверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходовm+ , а число отрицательных переходов m- .
В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замкнутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.
m+ – m- = m/2, (3.23)
где m – число правых полюсов разомкнутой системы.
Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амлитудно- и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так какm+ = 1, а m- = 0, и условие (3.23) выполняется.
|
|
|
Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:
во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек. Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω) равен -40 дБ/дек, обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фазе и становитсяпередемпфированнойс длительным переходным процессом:
во-вторых, запас устойчивости системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.