Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа

1.      Линейность преобразования.Для любых постоянных и

.                                   (2.8)

2.      Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, т.е.  обладает указанными тремя свойствами, то , где =, . И вообще, еслиn-я производная является функцией-оригиналом, то

,

где   ,k=0,1,…n-1.

Если начальные условия нулевые, т.е. , то последняя формула принимает вид:

.                                                       (2.9)

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию соответствует умножение изображения на  р.

3.      Интегрирование интеграла.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения нар:

.                                                     (2.10)

4.      Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

.                                    (2.11)

1.      Теорема умножения изображения.Если и – оригиналы, и – их изображения, то

.                     (2.12)

Интеграл правой части равенства называют сверткой функций и и обозначают:

=.

2.      Теоремы о предельных значениях. Если – оригинал, а – его изображение, то

,                                                   (2.13)

и при существовании предела

.                                                  (2.14)

7.               Теорема разложения. Если изображение сигнала представляет собой дробно-рациональное выражение, т.е.

,

причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя и все n корней уравнения простые, то для нахождения оригинала, соответствующего изображению , может быть использована  формула (формула разложения):

(2.15)

где - корень уравнения , .

В таблице 2.1 приведены выражения изображения Лапласа для некоторых типовых сигналов.     

Таблица 2.1

Изображения по Ла­пласу типовых сигналов

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
δ(t)	1
1(t)		sin()
		cos()

Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.5) и считая начальные условия нулевыми,  получим следующее операторное уравнение, связывающее изображения входного и  выходного сигналов системы:

..+++..+(2.16)

или

,

где  А(p)=;В(р)= .

Введем в рассмотрение передаточную функ­цию звена (или системы) равную отношению изображения по Ла­пласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях:

.                                                     (2.17)

Из выражений (2.16) – (2.17) следует, что      и

      .                                               (2.18)

Выражение (рис. 2.18) связывает изображение выходного сиг­нала системы с изображением входного сигнала. Передаточная функция W(p)характеризует динамические свойства САУ, она не зависит от входного сигнала и полностью определяется коэффициентами и , а те, в свою очередь, – параметрами и структурой системы.

Передаточная функция является дроб­но рациональной функцией относительно оператора пре­образования Лапласа:

.                               (2.19)

 

Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не пре­вышает степени полинома зна­менателя. Это условие называ­ютфизической реализуемостью САУ; оно означает, что нельзя создать систему, пе­редаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.

Корни полинома числителя передаточной функции (2.19) назы­вают нулями, а корни полино­ма знаменателя –полюсамиСАУ. При анализе САУ нули и полюсы (особенностипередаточной функ­ции) удобно изображать точками на плоскости комплекс­ногопеременного (рис. 2.2). Так как коэффициенты передаточной функции – действительные числа, то нули и полюсы могут быть только вещественными () либо комплексно-сопряженными ( и ) величинами. Если передаточная функ­ция звена или системы не содержит особенностей в правой части плоскости , то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.