Способ Гольдфарба

Решение основного уравнения метода гармонического баланса (10.5.16) относительно амплитуды и частоты автоколебаний можно получить графически.

В способе Гольдфарба предлагается решить основное уравнение следующим образом относительно частотной характеристики линейной части системы:

. (10.5.22)

Затем на комплексной плоскости строятся амплитудно-фазовая характеристика и характеристика, соответствующая нелинейному элементу, т. е.

. (10.5.23)

Если эти две характеристики не пересекаются, то периодических процессов в нелинейной системе не возникает.

При наличии пересечений частота автоколебаний определяется по частотной характеристике линейной части системы , а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента в точке пересечения.

Поскольку в общем случае точек пересечения и характеристики нелинейного элемента (10.5.23) может быть несколько, в системе могут возникать соответствующие им периодические процессы различных амплитуды и частоты. Причем часть из них будут устойчивыми, а часть – неустойчивыми.

Устойчивость найденного колебательного режима позволяет оценить следующее правило (оно не является строго обоснованным, но зачастую оказывается достаточным). Если при движении по обратной частотной характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение амплитудно-фазовой характеристики линейной части «изнутри наружу», то этой точке пересечения соответствуют устойчивые колебания (автоколебания). В противном случае колебания будут неустойчивыми.

На рис. 10.5.5 характеристики и пересекаются в двух точках. Это означает, что в системе могут возникать два вида колебаний.

Рис. 10.5.5. Иллюстрация способа Гольдфарба

Причем первой точке пересечения соответствуют устойчивые колебания (автоколебания) с амплитудой и частотой , а второй точке – неустойчивые.

Пример 10.5.3

Определить параметры колебаний и проверить их устойчивость для системы, изображенной на рис. 10.5.3. Здесь нелинейный элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5.2) с уровнем ограничения , а передаточная функция линейной части следующая:

.

получим выражение для амплитудно-частотной характеристики (рис. 10.5.6) в виде

или

.

Запишем выражение для частотной характеристики нелинейного элемента

,

а затем построим годограф (10.5.6)

Рис. 10.5.6. Расположение характеристик (10.5.22) для примера 10.5.3

.

Как видим, эти характеристики пересекаются в одной точке, которая соответствует автоколебаниям. Для определения их параметров найдем координаты точки пересечения, для чего приравняем нулю мнимую часть :

.

Отсюда следует, что .

При найденном значении частоты получим

.

Из условия

определим амплитуду автоколебаний: .

Способ Коченбургера

Способ Коченбургера представляет собой второй вариант графического решения основного уравнения метода гармонического баланса (10.5.16). В этом случае его предлагается решить относительно характеристики нелинейного элемента системы следующим образом:

. (10.5..25)

Как и в способе Гольдфарба, наличие точек пересечения двух характеристик, согласно (10.5..25), свидетельствует о наличии в системе колебательного режима. Причем частота колебаний определяется по обратной частотной характеристике линейной части системы , а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента в точке пересечения (рис. 10.5.6).

Рис. 10.5.6. Иллюстрация способа Коченбургера

Процедура определения автоколебаний аналогична способу Гольдфарба, однако правило формулируется следующим образом. Если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение обратной частотной характеристики линейной части «снаружи вовнутрь», то этой точке пересечения соответствуют автоколебания. В противном случае колебания будут неустойчивыми.