![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •Раздел 2. Получение информации для анализа и синтеза аср. Принципы построения математических моделей элементов аср 29
- •Раздел 3. Динамические характеристики линейных систем 50
- •Раздел 4. Типовые динамические звенья. Переходные и частотные характеристики типовых звеньев 69
- •Раздел 5. Характеристики замкнутых аср 88
- •Раздел 6. Анализ устойчивости линейных систем 106
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования Цель и задачи дисциплины
- •Кибернетика
- •Основные понятия тау
- •Объект автоматического управления
- •Примеры объектов и систем управления
- •Примеры систем управления
- •Функциональные и структурные формы объектов
- •Принципы автоматического регулирования (управления)
- •Пример простейшей непрерывной замкнутой системы регулирования и ее функциональная схема
- •1.2 Классификация аср. Задачи курса тау Классификация аср
- •Задачи курса тау
- •Раздел 2. Получение информации для анализа и синтеза аср. Принципы построения математических моделей элементов аср
- •2.1 Принципы построения математических моделей элементов аср. Линеаризация. Примеры моделей звеньев Принципы построения математических моделей элементов аср
- •Дифференциальные уравнения
- •Составление математической модели
- •Линеаризация
- •Передаточные функции сау. Преобразования Лапласа
- •Примеры моделей звеньев
- •Раздел 3. Динамические характеристики линейных систем
- •3.1 Динамические характеристики линейных систем. Типовые входные воздействия, их спектры и изображения. Временные характеристики - импульсная (весовая) и переходная. Свойства. Уравнения свертки
- •3.2 Частотные характеристики, логарифимические частотные характеристики. Связь с передаточной функцией. Свойства и расчет частотных характеристик по передаточной функции
- •Ориентированные графы систем автоматического управления
- •Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов
- •Раздел 4. Типовые динамические звенья. Переходные и частотные характеристики типовых звеньев
- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Раздел 5. Характеристики замкнутых аср
- •Замкнутые системы автоматического управления. Виды обратной связи
- •Передаточные функции в системах автоматического управления
- •Комбинированные аср
- •Каскадные аср
- •Расчёт настроек регуляторов в каскадных аср
- •Последовательность расчёта настроек регуляторов
- •Раздел 6. Анализ устойчивости линейных систем
- •6.1 Понятия о критериях устойчивости. Теоремы ляпунова об оценке устойчивости по линеаризованным моделям. Критерии устойчивости рауса и гурвица Понятия о критериях устойчивости
- •Критерии устойчивости
- •Теоремы Ляпунова об оценке устойчивости по линеаризованным моделям
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Рауса
- •6.2 Критерии михайлова и найквиста. Анализ устойчивости систем с запаздыванием. Логарифмический критерий устойчивости Частотные критерии устойчивости Принцип аргумента
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Устойчивость систем с запаздыванием
- •Об исследовании точности систем с запаздыванием
- •Логарифмический критерий устойчивости
- •Логарифмическая форма критерия Найквиста
- •Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы автоматического регулирования
- •Раздел 7. Качество процессов управления
- •Методы построения переходных процессов
- •Метод Акульшина
- •Метод трапеций Солодовникова
- •Точность в установившихся режимах
- •Введение астатизма
- •Метод коэффициентов ошибок
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества
- •8.1 Косвенные критерии качества. Корневые критерии качества — степень устойчивости и степень колебательности
- •Степень устойчивости
- •Степень колебательности
- •Частотные критерии качества
- •Запас устойчивости
- •Оценка быстродействия сар
- •Интегральные оценки качества
- •Аналитический расчет квадратичных ит-оценок
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов
- •9.1 Параметрический синтез типовых регуляторов Постановка задачи синтеза. Основные методики расчета настроек регуляторов. Условия компенсации низкочастотных возмущений
- •9.2 Расчет настроек на заданную степень колебательности, Расчет настроек на заданный показатель колебательности м и me
- •9.3 Приближенные методики расчета настроек. Расчет настроек в комбинированных и каскадных аср. Робастные методы расчета настроек
- •Формульный метод определения настроек регулятора
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср
- •10.1 Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср. Типовые нелинейные модели. Уравнения нелинейных систем
- •Характеристика нелинейных систем
- •Особенности нелинейных систем
- •Типовые нелинейные элементы системы управления
- •10.2 Анализ нелинейных систем на фазовой плоскости. Классификация особых точек. Автоколебания. Метод точечных преобразований
- •Основные понятия
- •Фазовые портреты нелинейных систем
- •Методы построения фазовых портретов
- •Интегрирование уравнений фазовых траекторий
- •Метод изоклин
- •Метод припасовывания
- •Метод сшивания
- •Понятие об автоколебаниях
- •Методы исследования автоколебаний Критерий Бендиксона
- •Метод точечного преобразования y1
- •10.3 Анализ релейных систем. Понятие устойчивости по ляпунову. Устойчивость в малом, большом и целом Устойчивость в малом, большом и целом
- •Исследование устойчивости нелинейных систем. Второй метод Ляпунова
- •10.4 Абсолютная устойчивость положения равновесия. Критерий в.М. Попова Критерий в.М. Попова
- •Процедура проверки абсолютной устойчивости
- •Метод гармонической линеаризации
- •Основное уравнение метода гармонического баланса
- •Способ Гольдфарба
- •Коррекция автоколебаний
- •Условия применимости метода гармонического баланса
- •Вибрационная линеаризация
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях
- •11.1 Случайные процессы в аср. Типовые случайные сигналы и их характеристики Случайные процессы в аср
- •Характеристики случайных сигналов
- •11.2 Преобразование случайных сигналов линейным звеном. Идентификация динамических характеристик при случайных процессах Преобразование случайного сигнала линейным динамическим звеном
- •Определение оптимальной передаточной функции системы управления
- •11.3 Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях. Расчет дисперсии ошибки, параметрический синтез аср по минимуму дисперсии Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях
- •Расчет ошибок с сау при случайных воздействиях
- •Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки замкнутой системы
- •Статистическая оптимизация систем управления
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср)
- •Импульсный элемент
- •Линейные разностные уравнения
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования 7
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •Решетчатые функции и z-преобразование
- •Определение z-преобразования
- •Основные свойства z-преобразования
- •Цифровые системы управления
- •Дискретное преобразование Лапласа и частотные характеристики
- •Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа и непрерывная модель дискретной системы
- •12.2 Уравнения элементов цифровой аср. Цифровой регулятор, идеальный импульсный элемент, формирующий фильтр, приведенная непрерывная часть Непрерывная модель дискретной системы
- •12.3 Преобразование сигналов идеальным импульсным элементом. Теорема Котельникова. Характеристики разомкнутых цаср
- •12.4 Частотные характеристики. Характеристики замкнутых систем Динамические характеристики
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем
- •13.1 Анализ устойчивости дискретных систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости. Аналог критерия гурвица Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость
- •Критерий устойчивости Джури
- •13.2 Аналоги критериев михайлова, найквиста Частотный критерий устойчивости
- •Критерий Найквиста
- •13.3 Методы построения переходных процессов. Косвенные критерии качества
- •Показатели качества в переходном режиме
- •Прямые показатели качества
- •Косвенные показатели качества
- •Особенности переходного процесса дискретных систем
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования 7
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •13.4 Бесконечная степень устойчивости. Регуляторы Резвика, Смита Раздел 14. Адаптивные системы
- •14.1 Классификация адаптивных систем. Системы экспериментального регулирования (сэр). Сэр с запоминанием экстремума, градиентные сэр
- •Системы экстремального регулирования
- •Способ градиента
- •14.2 Системы с эталонной моделью. Алгоритмы идентификации Беспоисковые адаптивные системы управления
- •Идентификация и модель для получения оценки
- •Модель для получения оценки
10.3 Анализ релейных систем. Понятие устойчивости по ляпунову. Устойчивость в малом, большом и целом Устойчивость в малом, большом и целом
Судить об устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основании теорем Ляпунова, по дифференциальным уравнениям линеаризованных систем, можно только при малых отклонениях от установившегося движения, т е. можно судить только об устойчивости в малом. Между тем, нелинейная система, устойчивая в малом, может быть неустойчивой при больших отклонениях. Различают, кроме устойчивости в малом, следующие виды устойчивости нелинейных систем. Система называется устойчивой в большом, если она устойчива при больших конечных по величине отклонениях. Система называется устойчивой в целом, если она устойчива при любых, не ограниченных по величине, начальных отклонениях. Если система асимптотически устойчива в целом, то ее называют абсолютно устойчивой.
Особенностью нелинейных систем является возникновение в них, при некоторых начальных условиях, гармонических колебаний с определенной амплитудой и частотой, так называемых предельных циклов. Если предельный цикл устойчив, т.е. к нему сходятся все траектории сверху и снизу в определенном диапазоне начальных условий, то он называется автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний зависят только от параметров системы.
Исследование устойчивости нелинейных систем. Второй метод Ляпунова
Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце 19-го века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
(10.3.1)
,получивший
в дальнейшем название второго или
прямого метода Ляпунова.
Прежде чем давать точные формулировки, кратко рассмотрим идею метода.
Предположим,
что на устойчивость исследуется точка
покоя
где i=1,2,…n
системы (10.3.1). Если бы с возрастанием
t
точки всех траекторий приближались к
началу координат или хотя бы не удалялись
от него, то очевидно, рассматриваемая
точка покоя была бы устойчивой.
Проверка
выполнения этого условия не требует
знания решений системы уравнений
(10.3.1). Действительно, если -
расстояние от точки траектории
до начала координат, то
и
(10.3.2)
Правая
часть в (10.3.2) является известной функцией
времени и координат процесса и,
следовательно, можно исследовать ее
знак. Если окажется, что
,
то точки на всех траекториях не удаляются
от начала координат при возрастании
времени и точка покоя
устойчива.
Вместо
обычно вычисляют для упрощения
дифференцирования производную
знак которой совпадает с
.
Однако точка покоя может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней точек траектории с возрастанием времени. Для того, чтобы убедиться в этом достаточно взглянуть на траектории типа центра или устойчивого фокуса, рассмотренные при изучении метода фазовых портретов. Поэтому вместо функций А.М. Ляпунов рассматривал некоторые функции V(t,x1,x2,...,xn), являющиеся в некотором смысле «обобщенными расстояниями» до начала координат. Каждая V-функция определена в некоторой области G, заданной неравенством
<L,где
L-некоторая
постоянная величина.
Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится к построению таких функций V векторной переменной X( x1,...,xn), полные производные которых по времени, вычисленные согласно (10.3.1), обладают некоторыми специфическими свойствами.
Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений, принимает всюду в области G значения только одного знака.
Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и учитывая ее знак- определенно положительной или определенно отрицательной.
Наряду с функциями V будем рассматривать их полные производные по времени
.
(10.3.2)
Ляпуновым были доказаны следующие две фундаментальные теоремы:
Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная (10.3.2) которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная (3) которой в силу этих уравнений была бы функцией знакоопределенной противоположного с V знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.
Функции V, удовлетворяющие условиям этих теорем, называются функциями Ляпунова.
Пример
1.
Исследовать на устойчивость точку покоя
cистемы
Выберем функцию Ляпунова в виде V=7x2+3y2. Эта функция является знакопостоянной. Ее производная
.
Условия
теоремы 1 выполнены, следовательно точка
покоя устойчива.
Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
,
>0.
Функцию Ляпунова выберем в виде V=x2+ky2. Найдем производную:
2x[a(t)x+kb(t)y]+2ky[-b(t)x+c(t)y]=2[a(t)x2+kc(t)y2]<=0.
Выполнены условия теоремы 2,следовательно, рассматриваемая точка покоя асимптотически устойчива.
Трудность применения прямого метода Ляпунова к решению прикладных задач связана с отсуствием широко разработанных общих приемов построения функций Ляпунова в тех или иных случаях. Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем автоматического управления (САУ) находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм
(10.3.3)
В
матричной форме можно записать
,где
.
Квадратичная
форма, представленная в виде (10.3.3) или
соответствующей ей матрицы Р
является знакопостоянной- положительно
определенной, если
>0,
отрицательно определенной, если
<0,
или знакоопределенной- знакоположительной,
если
и
знакоотрицательной, если
Укажем
признаки, по которым можно проверить,
- какое из указанных выше свойств имеет
изучаемая квадратичная форма или
соответствующая ей матрица. Найдем
собственные числа матрицы Р
-
i,
решив известное уравнение det(
I-P)=0,
где I-единичная
матрица. Если все собственные числа
рассматриваемой матрицы строго больше
нуля, то квадратичная форма определенно
положительная, если все собственные
числа строго отрицательны, то квадратичная
форма определенно отрицательная. При
i
0
квадратичная
форма знакоположительна, а при i
0
-
знакоотрицательна.
Сформулируем еще один признак определенной положительности квадратичной формы, известный как критерий Сильвестра.
Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы каждый из угловых (диагональных) миноров
к=
,
k=1,2,…..n.
матрицы Р был положителен.
Если задача о построении функций Ляпунова для какого-либо класса систем решена, то прямой метод можно рассматривать как наиболее эффективный метод исследования устойчивости. Его особенная ценность проявляется в тех случаях, когда интересуются исследованием устойчивости в большом, т.е. при любых конечных отклонениях. Кроме того, этот метод может применятся к изучению устойчивости тех систем управления, которые содержат существенно нелинейные и неаналитические (разрывные) характеристики. Во всех этих случаях возможность применения метода первого приближения исключена.
Следует помнить, что если какая-либо задача об устойчивости в теории управления может быть решена прямым методом, то это решение не будет однозначным. Действительно, функции Ляпунова определены столь общими свойствами, что их может быть построено бесчисленное множество. Следовательно, условия устойчивости, к которым приводит прямой метод, являются условиями достаточными и их нарушение еще не будет означать неустойчивости системы. Мы уже говорили о том, что свобода выбора функций Ляпунова позволяет строить критерии устойчивости систем, в которых некоторые нелинейные элементы не могут быть точно охарактеризованы. Любой другой известный метод исследования устойчивости не дает возможности решить задачу об устойчивости в большом в этом случае. Но полученное решение, в силу указанной многозначности функций Ляпунова и отсутствия условия необходимости, может оказаться неконструктивным, т.е. таким, которое предъявляет чрезмерно высокие требования к параметрам регулятора, реализовать которые практически невозможно.
Вопрос о конструктивности решений задачи прямым методом в каждом конкретном случае следует подвергать особому рассмотрению.