![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •Раздел 2. Получение информации для анализа и синтеза аср. Принципы построения математических моделей элементов аср 29
- •Раздел 3. Динамические характеристики линейных систем 50
- •Раздел 4. Типовые динамические звенья. Переходные и частотные характеристики типовых звеньев 69
- •Раздел 5. Характеристики замкнутых аср 88
- •Раздел 6. Анализ устойчивости линейных систем 106
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования Цель и задачи дисциплины
- •Кибернетика
- •Основные понятия тау
- •Объект автоматического управления
- •Примеры объектов и систем управления
- •Примеры систем управления
- •Функциональные и структурные формы объектов
- •Принципы автоматического регулирования (управления)
- •Пример простейшей непрерывной замкнутой системы регулирования и ее функциональная схема
- •1.2 Классификация аср. Задачи курса тау Классификация аср
- •Задачи курса тау
- •Раздел 2. Получение информации для анализа и синтеза аср. Принципы построения математических моделей элементов аср
- •2.1 Принципы построения математических моделей элементов аср. Линеаризация. Примеры моделей звеньев Принципы построения математических моделей элементов аср
- •Дифференциальные уравнения
- •Составление математической модели
- •Линеаризация
- •Передаточные функции сау. Преобразования Лапласа
- •Примеры моделей звеньев
- •Раздел 3. Динамические характеристики линейных систем
- •3.1 Динамические характеристики линейных систем. Типовые входные воздействия, их спектры и изображения. Временные характеристики - импульсная (весовая) и переходная. Свойства. Уравнения свертки
- •3.2 Частотные характеристики, логарифимические частотные характеристики. Связь с передаточной функцией. Свойства и расчет частотных характеристик по передаточной функции
- •Ориентированные графы систем автоматического управления
- •Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов
- •Раздел 4. Типовые динамические звенья. Переходные и частотные характеристики типовых звеньев
- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Раздел 5. Характеристики замкнутых аср
- •Замкнутые системы автоматического управления. Виды обратной связи
- •Передаточные функции в системах автоматического управления
- •Комбинированные аср
- •Каскадные аср
- •Расчёт настроек регуляторов в каскадных аср
- •Последовательность расчёта настроек регуляторов
- •Раздел 6. Анализ устойчивости линейных систем
- •6.1 Понятия о критериях устойчивости. Теоремы ляпунова об оценке устойчивости по линеаризованным моделям. Критерии устойчивости рауса и гурвица Понятия о критериях устойчивости
- •Критерии устойчивости
- •Теоремы Ляпунова об оценке устойчивости по линеаризованным моделям
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Рауса
- •6.2 Критерии михайлова и найквиста. Анализ устойчивости систем с запаздыванием. Логарифмический критерий устойчивости Частотные критерии устойчивости Принцип аргумента
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Устойчивость систем с запаздыванием
- •Об исследовании точности систем с запаздыванием
- •Логарифмический критерий устойчивости
- •Логарифмическая форма критерия Найквиста
- •Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы автоматического регулирования
- •Раздел 7. Качество процессов управления
- •Методы построения переходных процессов
- •Метод Акульшина
- •Метод трапеций Солодовникова
- •Точность в установившихся режимах
- •Введение астатизма
- •Метод коэффициентов ошибок
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества
- •8.1 Косвенные критерии качества. Корневые критерии качества — степень устойчивости и степень колебательности
- •Степень устойчивости
- •Степень колебательности
- •Частотные критерии качества
- •Запас устойчивости
- •Оценка быстродействия сар
- •Интегральные оценки качества
- •Аналитический расчет квадратичных ит-оценок
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов
- •9.1 Параметрический синтез типовых регуляторов Постановка задачи синтеза. Основные методики расчета настроек регуляторов. Условия компенсации низкочастотных возмущений
- •9.2 Расчет настроек на заданную степень колебательности, Расчет настроек на заданный показатель колебательности м и me
- •9.3 Приближенные методики расчета настроек. Расчет настроек в комбинированных и каскадных аср. Робастные методы расчета настроек
- •Формульный метод определения настроек регулятора
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср
- •10.1 Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср. Типовые нелинейные модели. Уравнения нелинейных систем
- •Характеристика нелинейных систем
- •Особенности нелинейных систем
- •Типовые нелинейные элементы системы управления
- •10.2 Анализ нелинейных систем на фазовой плоскости. Классификация особых точек. Автоколебания. Метод точечных преобразований
- •Основные понятия
- •Фазовые портреты нелинейных систем
- •Методы построения фазовых портретов
- •Интегрирование уравнений фазовых траекторий
- •Метод изоклин
- •Метод припасовывания
- •Метод сшивания
- •Понятие об автоколебаниях
- •Методы исследования автоколебаний Критерий Бендиксона
- •Метод точечного преобразования y1
- •10.3 Анализ релейных систем. Понятие устойчивости по ляпунову. Устойчивость в малом, большом и целом Устойчивость в малом, большом и целом
- •Исследование устойчивости нелинейных систем. Второй метод Ляпунова
- •10.4 Абсолютная устойчивость положения равновесия. Критерий в.М. Попова Критерий в.М. Попова
- •Процедура проверки абсолютной устойчивости
- •Метод гармонической линеаризации
- •Основное уравнение метода гармонического баланса
- •Способ Гольдфарба
- •Коррекция автоколебаний
- •Условия применимости метода гармонического баланса
- •Вибрационная линеаризация
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях
- •11.1 Случайные процессы в аср. Типовые случайные сигналы и их характеристики Случайные процессы в аср
- •Характеристики случайных сигналов
- •11.2 Преобразование случайных сигналов линейным звеном. Идентификация динамических характеристик при случайных процессах Преобразование случайного сигнала линейным динамическим звеном
- •Определение оптимальной передаточной функции системы управления
- •11.3 Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях. Расчет дисперсии ошибки, параметрический синтез аср по минимуму дисперсии Задачи анализа и синтеза аср при случайных воздействиях
- •Расчет ошибок с сау при случайных воздействиях
- •Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки замкнутой системы
- •Статистическая оптимизация систем управления
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср)
- •Импульсный элемент
- •Линейные разностные уравнения
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования 7
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •Решетчатые функции и z-преобразование
- •Определение z-преобразования
- •Основные свойства z-преобразования
- •Цифровые системы управления
- •Дискретное преобразование Лапласа и частотные характеристики
- •Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа и непрерывная модель дискретной системы
- •12.2 Уравнения элементов цифровой аср. Цифровой регулятор, идеальный импульсный элемент, формирующий фильтр, приведенная непрерывная часть Непрерывная модель дискретной системы
- •12.3 Преобразование сигналов идеальным импульсным элементом. Теорема Котельникова. Характеристики разомкнутых цаср
- •12.4 Частотные характеристики. Характеристики замкнутых систем Динамические характеристики
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем
- •13.1 Анализ устойчивости дискретных систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости. Аналог критерия гурвица Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость
- •Критерий устойчивости Джури
- •13.2 Аналоги критериев михайлова, найквиста Частотный критерий устойчивости
- •Критерий Найквиста
- •13.3 Методы построения переходных процессов. Косвенные критерии качества
- •Показатели качества в переходном режиме
- •Прямые показатели качества
- •Косвенные показатели качества
- •Особенности переходного процесса дискретных систем
- •Раздел 1. Основные понятия и определения та у 7
- •1.1 Цель и задачи дисциплины. Кибернетика. Основные понятия тау. Принципы автоматического регулирования 7
- •Раздел 7. Качество процессов управления 140
- •Раздел 8. Косвенные критерии качества 154
- •Раздел 9. Параметрический синтез типовых регуляторов 169
- •Раздел 10. Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных аср 173
- •Раздел 11. Системы регулирования при случайных воздействиях 214
- •Раздел 12. Дискретные (цифровые) автоматические системы регулирования (цаср) 245
- •Раздел 13. Анализ устойчивости дискретных систем 274
- •Раздел 14. Адаптивные системы 293
- •13.4 Бесконечная степень устойчивости. Регуляторы Резвика, Смита Раздел 14. Адаптивные системы
- •14.1 Классификация адаптивных систем. Системы экспериментального регулирования (сэр). Сэр с запоминанием экстремума, градиентные сэр
- •Системы экстремального регулирования
- •Способ градиента
- •14.2 Системы с эталонной моделью. Алгоритмы идентификации Беспоисковые адаптивные системы управления
- •Идентификация и модель для получения оценки
- •Модель для получения оценки
Раздел 8. Косвенные критерии качества
8.1 Косвенные критерии качества. Корневые критерии качества — степень устойчивости и степень колебательности
К корневым оценкам относятся степень устойчивости и степень колебательности.
Степень устойчивости
Степень устойчивости численно равна абсолютному значению действительной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 8.1.1).
Рисунок 8.1.1 - К определению степени устойчивости
Система обладает достаточным запасом устойчивости, если достаточно велико. Запишем уравнение переходного процесса (движения системы):
(8.1.1)
Если
,
то
,
(8.1.2)
где
.
Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания переходного процесса (рис. 8.1.2).
Рисунок 8.1.2 - Интерпретация степени устойчивости
Наименьшему по абсолютной величине корню соответствует наиболее медленно затухающая составляющая переходного процесса.
Связь степени устойчивости с быстродействием
Пусть
за время tp составляющая переходного
процесса
от значения h1(0)=C1 уменьшилась в m раз
(рис.8.1.3).
;
(8.1.3)
;
(8.1.4)
;
(8.1.5)
.
(8.1.6)
Рисунок 8.1.3 К связи степени устойчивости с быстродействием
Увеличению
времени tp при m=const соответствует
уменьшение
.
Чем больше
,
тем быстрее затухает процесс.
Степень колебательности
Из начала координат проведём лучи через два комплексно сопряжённых корня так, чтобы все остальные корни оказались между этими лучами (рис. 8.1.4).
Рисунок 8.1.4 - К определению степени колебательности
Степенью колебательности называется отношение
.
(8.1.7)
Из рис. 8.1.4 следует, что
.
(8.1.8)
Чем больше m, тем быстрее затухает колебательный процесс. Степень колебательности характеризует запас устойчивости системы.
Если
на систему накладывается требование
,
то это означает, что все корни
характеристического уравнения системы
должны находиться внутри заштрихованного
сектора.
Для системы второго порядка с двумя комплексными сопряженными корнями уравнение движения
.
(8.1.9)
Найдём связь степени колебательности и степени затухания. В выражение степени затухания (8.1.9) подставим:
,
(8.1.10)
,
(8.1.11)
.
(8.1.12)
Заметим, что для систем более высокого (>2) порядка соотношение (8.1.12) является приближённым. Степень его достоверности повышается в тех случаях, когда пара комплексных сопряжённых корней, определяющая m, имеет вещественную часть, значительно отличающуюся от вещественной части остальных корней.
8.2 АНАЛИЗ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ И СТЕПЕНИ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ МЕТОДОМ СМЕЩЕННОГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ И СТЕПЕНИ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Частотные критерии качества. Запас устойчивости по модулю и по фазе. Показатель колебательности М и ME. Интегральные критерии качества, методы вычисления
Анализ степени устойчивости и степени колебательности
Простейшей корневой оценкой качества является степень устойчивости — расстояние η от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней λ характеристического уравнения замкнутой системы (рис. 8.2.1). Если ближайшим является вещественный корень (рис. 8.2.1, а), то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса
(апериодическая степень устойчивости η). Время ее затухания
при
∆=5%
(8.2.1)
х
арактеризует
общую длительность переходного процесса,
так как все члены решения, соответствующие
остальным корням, затухают быстрее.
Рисунок 8.2.1 – Корневой степень устойчивости
Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных корней (рис. 8.2.1, б), то доминирующая составляющая решения для переходного процесса
(8.2.2)
будет колебательной (колебательная степень устойчивости η), причем оценка длительности переходного процесса tп остается прежней (8.2.2).
Определяется величина степени устойчивости следующим образом. Вводится новая комплексная переменная z = λ + η (рис. 8.2.2). Тогда на плоскости z мнимая ось β΄ пройдет через ближайшие корни, т. е. составленное относительно z характеристическое уравнение должно удовлетворять условию нахождения на границе устойчивости.
Таким образом, если задано характеристическое уравнение
(8.2.3)
то подставив λ = z — η , а именно
(8.2.4)
получим новое уравнение, которое называется смещенным, в виде
(8.2.5)
где коэффициенты A1, A2 , ..., An являются функциями η. Их можно вычислить следующим образом:
(8.2.6)
что вытекает из представления выражения (8.2.5) как результата разложения функции D(λ) (8.2.4) при λ = z - η в ряд Тейлора.
Затем к уравнению (8.2.5) применяется условие границ устойчивости, например, по Гурвицу
(8.2.7)
откуда и определяется величина η. Ниже будет дана диаграмма степени устойчивости для системы третьего порядка.
Рисунок 8.2.2 -
Колебательность переходного процесса определяется величиной
где α и β — вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Именно эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. В самом деле, паре комплексных корней λ1 , 2 = -|α| ± jβ соответствует составляющая решения переходного процесса
Период колебаний равен
Через один период амплитуда C1 e – | α | t уменьшается до величины
Рисунок 8.2.3 -
Следовательно,
чем больше величина
,
названная колебательностью, тем слабое
будет затухание колебаний в переходном
процессе. Линия μ = const образует центральный
угол (рис. 8.2.3, а) на комплексной плоскости.
Суммарное требование определенных значений степени устойчивости η и колебательности μ приводит к области, изображенной на рис. 8.2.3, б, внутри которой должны лежать все корни характеристического уравнения замкнутой системы.
Далее необходимо иметь в виду, что для определения качества переходного процесса при единичном скачке внешнего воздействия существенны не только корни характеристического уравнения, т. е. полюса, по также и нули передаточной функции замкнутой системы Ф(s). В самом деле, как мы знаем,
(8.2.8)
Воспользуемся формулой (8.2.8), разложив многочлен N(si) на множители
(8.2.9)
где si = λi полюса Ф(s), т. е. корни характеристического уравнения D(λ) = 0; через N1, N2, ..., Nm обозначены нули (корпи) многочлена N(s).
Отсюда видно, что амплитуды отклонений в переходном процессе, стоящие под знаком суммы, будут тем меньше, чем ближе расположены нули Nj к полюсам si т. е. корпи многочлена N(s) к корням характеристического уравнения. Именно в этом случае величины (si — Nj) будут малы. Это соответствует, например, схеме рис. 5.2.4, где нули обозначены кружочками. Заметим, что нули для замкнутой системы совпадают с нулями разомкнутой цепи W(s), так как
а полюса Ф(s) и W(s) существенно отличаются друг от друга.
Итак, для уменьшения амплитуд отклонений в переходном процессе желательно, чтобы нули передаточной функции замкнутой системы Ф(s) располагались вблизи ее полюсов.
Примером корневых оценок качества переходного процесса в системах третьего порядка является диаграмма Вышнеградского (дана в его работе 1876 г., положившей начало развитию теории автоматического регулирования).
Характеристическое уравнение системы третьего порядка
(8.2.10)
приводится к нормированному виду
(8.2.11)
где
,
(8.2.12)
Параметры Вышнеградского А и В представляют, следовательно, определенные комбинации реальных параметров системы, входящих в коэффициенты характеристического уравнения.
На плоскости параметров А, В граница устойчивости выразится зависимостью АВ = 1 (гипербола). Область устойчивости АВ > 1 разбивается на три подобласти (рис. 8.2.5) с различным расположением корней характеристического уравнения и соответственно — очертаний переходного процесса. При этом граничные линии СЕ и
Рисунок 8.2.5 -
CF находятся приравниванием нулю дискриминанта формулы Кардана (решения кубического уравнения) в виде
а линия CD — из равенства вещественных частей всех корней —
В точке С (3; 3) все три корня вещественны и равны —1.
Позднее на диаграмму Вышнеградского были нанесены линии равных значений степени устойчивости η и линии равных значений колебательности μ.
При определении степени устойчивости смещенное уравнение для нормированного характеристического уравнения (8.2.12) будет
где согласно формулам (8.2.5)
Два условия (8.2.6) принимают соответственно вид
(8.2.13)
(8.2.14)
Полагая η = const, нанесем линии равных значений η на плоскость параметров Вышнеградского А, В. При этом согласно уравнению (8.2.13) получим для разных конкретных значений η прямые линии, а согласно уравнениям (8.2.14) — кривые (рис. 8.2.6).
Рисунок 8.2.6 -
Для определения линий равных значений величины колебательности μ системы третьего порядка (8.2.6), когда корни его
имея в виду, что μ = β1 /α1 , по формулам Виета запишем
Исключая α1 и α2, обозначив x = 1 + μ2, получим уравнение
(8.2.15)
которое
позволяет построить на поле диаграммы
Вышнеградского АВ
линии равных значений μ =
(рис. 8.2.7) в областях, где имеются
комплексные корни. Если нам требуется
в системе третьего порядка выбрать
параметры так, чтобы получить заданное
качество
Рисунок 8.2.7 -
переходного процесса по показателям η и μ, мы выбираем на рис. 8.2.6 и 8.2.7 соответствующую точку. Найдя таким образом значения А и B, пользуемся затем формулами (8.2.13) для подбора параметров системы (8.2.12).