5.Проекція вектора на вісь

Означення. Числовою віссю називається пряма, на якій вибрано початкову точку О, вказано додатний напрям та одиничний відрізок, так звану одиницю масштабу.

Нехай l – деяка числова вісь і задано деякий вектор = а. Через i позначимо проекції на цю вісь початкової точки А і кінцевої точки В в ектора а, які є точками перетину з віссю l площин, що проходятьчерез точки А і В перпендикулярно осі l. Нехай х₁ –координата точки , а х₂ – координата точки , які лежать на самій осі. Розглянемо число х₂ – х₁, його і назвемо проекцією вектора а на вісь l.

Означення. Різниця х₂ – х₁ між координатами проекцій на вісь l кінця і початку вектора а називається проекцією вектора а на вісь l і позначають символом пр_l а або пр_l .

Зауваження. Якщо через φ позначити величину кута між вектором а і віссю l, то дістанемо рівність пр_l а = |а| соs φ. АВ=а А’С=|a|

• = соsφ.

Якщо кут φ – гострий, то соs φ > 0 і пр_l а є число додатне, що узгоджується з тим, що х₂ – х₁> 0; якщо ж кут φ – тупий, то соs φ < 0 і пр_l а є число від’ємне, що відповідає тому, що х₂ – х₁< 0, бо х₂< х₁.

6.

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів а і b позначається символом а · b або ( ) або (а , b).

Отже, за означенням скалярного добутку маємо:

а · b = | а |·| b | cоsφ, (2.22)

де φ – кут між векторами а і b або φ = (а ,^ b).

– кут між векторами а і b або φ = (а ,^ b).

Такий вид множення двох векторів використовується у фізиці та інших навчальних дисциплінах. Така операція використовується в механіці при визначенні роботи, що виконується сталою силою F при переміщенні точки прикладання сили на деякий вектор переміщення s. Як відомо, шукана робота А дорівнює чисельно добутку складової цієї сили на вектор переміщення F_S, помноженій на модуль вектора переміщення, тобто А = F_S·| s |. Оскільки F_S = | F | cosφ, де φ – кут між вектором сили F і вектором переміщення s, то будемо мати: А=|F|·|s|cosφ

Для того, щоб два ненульові вектори були перпендикулярні(ортогональні), необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

7.

Означення. Векторним добутком двох векторів а і b називається вектор с, який задовольняє такі три умови:

1) модуль вектора с дорівнює добутку модулів векторів а і b на синус кута між ними; тобто

| с | = | а |·| b |·sinφ,

де φ – кут між векторами а і b;

2) вектор с перпендикулярний до кожного із векторів а і b;

3) вектор с напрямлений так, що коли дивитьсь з його кінця, то поворот від вектора а до вектора b по найкоротшому шляху повинен здійснюватися проти руху годинникової стрілки, якщо всі вектори привести до спільної точки прикладання.

В цьому випадку кажуть, що трійка векторів а, b і с є правою трійкою.

Векторний добуток векторів а і b позначається символом а b або [а, b].

Отже, виходячи з означення, маємо

|а b| = | а |·| b |·sinφ,

S_{трикутника} = | а |·|b| = | а |·| b |·sinφ.

1º. Векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю. Це очевидно, бо якщо а || b, то φ = 0 або φ = π, тоді sinφ = 0.

(Два вектори називаються колінеа́рними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Колінеарні вектори можуть бути співнаправленими чи протилежно направленими .Колінеарні вектори мають однаковий коефіцієнт пропорційності)

2º. При перестановці множників векторний добуток змінює знак на протилежний, тобто

а b = – (b а).

8-9.

О значення. Мішаним добутком трьох векторів а, b і с називається число, що дорівнює векторному добутку перших двох векторів, помноженому скалярно на третій вектор с.

Отже, модуль мішаного добутку трьох некомпланарних векторів чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах.

З цього твердження випливає така властивість мішаного добутку трьох векторів.

Три ненульові вектори а, b і с компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Необхідність. Якщо вектори а, b і с компланарні, то вектор d = а b, який є перпендикулярний до площини, яка утворюється векторами а і b, буде перпендикулярний і до вектора с, а тому скалярний добуток d·с = 0, тобто (а b)·с = 0, що і треба було довести.

Означення. Рівнянням лінії (L) на координатній площині хОу називається рівність F(x, y)=0, яку задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Рівняння y=kx+b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Число b – це ордината точки перетину прямої з віссю Оу.

tg =k

Канонічне рівняння прямої

. (m,n координати параллельного вектора до вектора з початком координат у точці M0)

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Загальне рівняння прямої

Теорема. Всяке рівняння першого степеня з двома змінними Ах+Ву+С=0, де А,В і С – задані числа, визначає на площині деяку пряму, причому вектор N=(A;B) є перпендикулярним до неї.

Рівняння Ах + Ву + С = 0 називається загальним рівнянням прямої, його коефіцієнти числа А і В є координатами її нормального вектора.

Доведення

Якщо В 0, то із рівняння Ах+Ву+С=0 випливає, що Ву= –Ах–С; . Якщо ввести позначення і , то останнє рівняння прийме вигляд у=kx+b. Але ж це рівняння є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

2. Якщо В = 0, то рівняння Ах+Ву+С=0 прийме вигляд

Ах+С=0, звідки або х=а, де . А рівняння х=а, як відомо, визначає пряму, паралельну осі Оу.

3. Доведемо нарешті, що вектор N = (A; B) перпендикулярний цій прямій, тобто є нормальним вектором цієї прямої. Виберемо на цій прямій дві довільні точки M₁ (x₁; y₁) і M₂ (x₂; y₂). Тоді координати цих точок задовольняють рівняння Ax+By+C=0, тобто справедливі рівності Ах₁+Ву₁+С=0 і Ах₂+Ву₂+С=0. Віднімемо від другої рівності першу, дістанемо: А(х₂ – х₁)+В(у₂ –у₁)=0. Це означає, що вектори N=(A;B) і

s = (х₂ – х₁; у₂ – у₁) є перпендикулярні, бо останню рівність можна записати так: N×s=0, звідки маємо, що N s, але ж s лежить на даній прямій, тоді вектор N, будучи перпендикулярним до вектора , перпендикулярний і до самої прямої. Теорему повністю доведено.