Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции статистьика.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

438.78 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

3 Розділ

Математична статистика

Озн.1 Математична статистика – це розділ математики,який розглядає математичні методи систематизації обробки та використання статичних данних для наукових та практичних висновків.

Озн.2 Статичними данними називаються данні про кількість об’єктів в деякій сукупності ,які мають спільні ознаки.

Озн.3 предметом математичної статистики являється формальна математична сторона статичних методів дослідження,якій байдуже до специфічної суттєвості розглядаємих об’єктів.

М.с. розв’язує такі задачі:

1) Характеристика явищ, наприклад ,є деякий статичний матеріал .Як його привести до порядку? Якими формами графіків треба скористатись?

2) Аналіз та прогноз на основі статичних даних ,оцінка хоча б наближено характеристик, які нас цікавили. Чим обмежити м.с. диспер, або середнє квадратичне відхилення.

3) Обрання оптимального рішення ,наприклад, яку кількість випробувань n,достатньо для того, щоб відхилення Р* та Р не було більше ніж яке задане за умовою (перевірка правоподібності гіпотез)

ξ1.Вибірковий метод.

Вивчення множини однакових об’єктів може супроводжуватись як за якісними так і за кількісними ознаками. Наприклад, якщо досліджується партія виробів, то якісна ознака її може бути стандартність вироба, а кількісна-розмірність.

Перевірку можна проводити двома способами:

контроль всіх елементів вибірки
деякої частини виробів.

Перший не завжди можливий.

Озн.1 Множина випадкової величини відібраних об’єктів називається вибірковою сукупністю або вибіркою.

Озн.2 Вся множина об’єктів , які підлягають контролю і дослідженню називаються генеральною сукупністю.

Озн.3 Кількість об’єктів вибіркової сукупності називається об’ємом вибірки.

Зауваження: Генеральна сукупність має кінцеву множину об’єктів,

але дуже велику і тому вважається нескінченною

Вибірка може бути :

Повторна (об’єкт з поверненням)
Безповторна (без повернення )

Вибірка обов’язково повинна бути репрецентативною,

(представітельною.)Якщо в.в. дискретна,то статичним аналогом ряда розподілу являється статичний ряд, де замість Рі знаходяться частоти, які відповідають події Рі*.

Перше ,що ми отримаєм після випробування це статичний матеріал, який називається першою статичною сукупністю. Якщо дані різнорідні, то розглядання таблиць проблематично.

Першим кроком до аналізу таких даних є їх впорядкування, наприклад в порядку зростання або спадання ,таку матрицю називають впорядкованою статичною сукупністю.

Відповідно цій матриці можна побудувати статичну ф-ю розподілу.

F*(X)=P*(X-x),для кожного Х знаходимо 1/nі будуємо графік F*(x)=n(x)/n-частота ( Гливенко довів1933)коли n→∞ за теоремою Бернуллі F(x)-теор.ф. розподілу прямує до F*(x)-емпірична.

Приклад. Є вибірка –3;+2;-1;-3;+5; -3;+2;,побудувати графік емпір. Ф.розподілу.

n=7

0,1 x<=-3 0, x<= -3

n(x)={ 3, -3<=x<=-1 F*(x)={ 3/7, -3<=x<=2

4, -1<=x<=2 4/7, -1<=x<=2

6, 2<x<5 6/7, 2<=x<5

7, x<5 1, x<5

F(x)

Рис.1

Графік емпіричної функції розподілу F*(x).

Як і теоретична ф-я розподілу F*(x)не спадає,а її значення належить

[0;1].

ξ2.Поліган та гістограма.

Інколи на практиці достатньо побудувати графік групованого статичного ряду ,для того,щоб зробити потрібні висновки .

Озн.1 Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднані точками (Х1;n1);(X2;n2)...

Озн.2 Полігоном відносних частот називають ламану,відрізки якої з’єднують точки (Х1;W1) та (Х2;W2) ,де Хі-варіантна W=ni/n-відносна частота.

Озн.3 Групованим статичним рядом називається таблиця,де в верхньому рядку вказані інтервали в.в.,в нижньому-відповідні частоти або відносні частоти,або щільність частоти f*=ni/n∆x

Озн.4 Гістограмою частот, або відносних частот, називають степеневу фігуру ,яка складається з прямокутників ,основою яких є інтервали довжиною ∆Х=і+1-Хі,а висотою є значення nі/∆Х,(Wi/∆X);

(ni/n) в степені і+1.

Приклад. Кут φ, який визначає висоту спостерігаємого об’єкту над горизонтом, вимірюється за допомогою спеціального прилада.В.в. Х-похибка вимірювання.З метою дослідження точності прилада проведем n=500 вимірювань цієї похибки ,в тисячних частинах радіана ,отримаємо статичний груповий ряд.

	-4:-3	-3:-2	-2:-1	-1:0	0:1	1:2	2:3	3:4
Рі*		0,012	0,05	0,144	0,266	0,24	0,176	0,092	0,02
Ni		6	25	72	133	120	88	46	10

Рис.2

Гістограма та графік теоритичної щільності розподілу f(x)випадкової величини.

Якщо ряд розподілу має велику кількість значень і треба знайти групований статичний ряд, з’являється питання про визначення кількості інтервалів та їх довжин.

Алгоритм побудови групованого ряду розподілу:

Визначити кількість інтервалів за ф-ю :

N=2+E(3.322lgn),E-ціла частина.

Визначити величину інтервалу ∆Х=(Xmax-Xmin)/(N-1)
Знайти ліву і праву границю розподілу

Хл=Хmin-∆X/2,Xп=Xmax+∆X/2

Побудувати групований ряд розподілу

Хі; Хі+1
Ni

ni/n або ni/n∆x ,якщо треба побудувати гістограму.

ξ3 Вимірювання статичних розподілів.

Часто ми маємо справу з вибіркою за основу якої треба зробити висновки відносно генеральної сукупності .Однією з таких можливостей може бути ф-я щільності розподілу.Таким чином ми робимо вирівнювання статичних даних або їх гістограми.

F(x)