–Діагональна матриця, всі діагоналі елементи якої дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається символом Е.

Означення. Добутком матриці на число або числа на матрицю називається матриця тієї ж розмірності, всі елементи якої дорівнюють добутку відповідних елементів даної матриці на це число.

За означенням A = A .

Означення. Добутком двох матриць і називається матриця С розмірності , елементи якої визначаються за формулою

Рангом системи рядків (стовпців) матриці A з m рядків і n стовпців називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.

Ранг матриці - найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Ранг матриці - Розмірність образу d i m (i m (A)) лінійного оператора, якому відповідає матриця.

1.3 Визначники

Якщо матриця А квадратна, то з нею пов’язується деяке число, що називається визначником або детермінантом матриці, який скорочено позначається символами або

Означення. Визначником матриці другого порядку називається число

Отже,

Означення. Визначником матриці третього порядку називається число, що визначається за формулою

.

Означення. Мінором елемента матриці третього порядку називається визначник матриці другого порядку, що утворюється з даної матриці викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент.

Мінор елемента позначається символом .

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента матриці називається число, що позначається символом і визначається за формулою:

, (1.10)

де – номер рядка, – номер стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент .

Означення. Визначником матриці n-го порядку називається число, що дорівнює сумі добутків всіх елементів першого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Означення. Матриця В називається оберненою до квадратної матриці А, якщо виконується рівність

АВ=ВА=Е, (1.12)

де Е – одинична матриця.

Отже, матриця А^-1 називається оберненою до квадратної матриці А, якщо

АА^-1= А^-1А=Е, (1.13)

де Е – одинична матриця.

При яких же умовах існує обернена матриця? Введемо поняття невиродженої матриці.

Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Якщо квадратна матриця має обернену матрицю, то вона невироджена.

Доведення

Нехай квадратна матриця А має обернену матрицю . Оскільки А=Е, то Але ж за властивістю 9⁰ Тоді =1, а звідси випливає, що Отже, матриця А невироджена.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Всяка невироджена матриця А має обернену матрицю і

, (1.14)

де - алгебраїчні доповнення елементів .

Доведення

Для спрощення записів доведемо теорему для матриці третього порядку. Покажемо, що А^-1А =Е. На підставі теорем розкладання і анулювання визначника будемо мати:

Аналогічно доводиться, що АА^-1=Е. Теорему доведено.

Зауваження. З формули (1.14) випливає, що, якщо то обернена матриця існує і обернена матриця єдина

Теорема. Якщо матриця системи невироджена, то система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, а саме:

Доведення

Х=А^-1В. Припустимо, що матриця системи невироджена, тобто тоді існує обернена матриця А^-1. Оскільки АА^-1=Е і ЕХ=Х, дістанемо: А^-1(АХ)= А^-1В;

Теорема. Всяка невироджена система лінійних рівнянь має розв’язок і цей розв’язок єдиний.

Формули Крамера

Скориставшись матричним способом розв’язання системи лінійних рівнянь, запишемо її розв’язок Х=А^-1В в розгорнутому вигляді

.

Тоді на підставі рівності матриць матимемо

Метод Гаусса

На практиці використовують метод послідовного виключення невідомих або метод Гаусса, суть якого в наступному. На першому кроці виключають одне із невідомих з цих рівнянь, крім одного. На другому кроці виключають ще одне невідоме з рівнянь, в яких вже виключене одне невідоме на першому кроці, і теж крім одного рівняння. Цей процес послідовного виключення невідомих продовжують доти, поки не дістанемо одне лінійне рівняння з одним невідомим. Це є прямий хід методу Гаусса.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних рівнянь була спільна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Якщо при цьому ранг дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення, якщо він менше числа невідомих, рішень-безліч.