Лекция 5. Предельные теоремы и законы больших чисел

Все законы вероятности получены из практики, то есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массовые случайные явления проявляются в статистической совокупности.

Было замечено, что при определенных условиях массовые случайные явления порождают величину неслучайную, которая подчиняется вполне определенным закономерностям. Все полученные соответствующие теоремы и образуют теоремы закона больших чисел, в которых приведены условия, когда среднее значение случайных величин стремится к величине не случайной. Таким образом, закон больших чисел – это совокупность теорем, в которых приведены условия, при которых последовательность случайных величин подчиняется определенным закономерностям, то есть стремится к величине неслучайной.

Неравенство Чебышева:

Теорема: Вероятность того, что случайная величина отклоняется от своего математического

ожидания на величину не меньше , ограничена сверху величиной , где -

положительное действительное число:

или

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Теорема: Если последовательность независимых случайных величин, которые имеют

конечное математические ожидания и ограниченные дисперсии , то

средние арифметические наблюденных значений случайных величин сходиться по

вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.

Закон больших чисел справедлив и для зависимых случайных величин, то есть справедлива

теорема Маркова:

Теорема: : Если для случайных величин выполняется условие

, то среднее арифметическое наблюденных случайных величин

сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Теоремы Бернулли : Если производится испытаний, в каждом из которых некоторое событие

может появиться с вероятностью , то относительная частота появления

события в испытаниях сходится по вероятности к вероятности появления

события в каждом испытании:

Теорема Пуассона: Пусть производится независимых испытаний, в каждом их которых событие

появляется с вероятностью . Тогда при неограниченном

увеличении числа испытаний относительная частота появления события

сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятности

появления события в различных испытаниях:

Теорема Лендеберга-Леви: Пусть независимые одинаково распределенные случайные

величины с математическим ожиданием и дисперсией . Закон

распределения нормируемой случайной величины стремится к нормальному

закону распределения с плотностью распределения вероятностей равной

, где

- нормированная случайная величина.

Это центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных независимых величин.

Теорема Ляпунова: Если независимые случайные величины, имеющие конечные

математические ожидания и дисперсии и абсолютные центральные

моменты третьего порядка, удовлетворяющие условиям:

то закон распределения величины сходится к нормальному закону

распределения с плотностью распределения вероятности

для которой

Эта теорема имеет большое практическое значение, так как, используя ее, можно вычислить вероятность того, что сумма независимых случайных величин принимает значение, принадлежащее интервалу. Условие

характеризует тот факт, что все случайные величины сравнимы между собой, то есть ни одна из случайных величин не имеет преимущество перед другими случайными величинами.

Рассмотрим дискретную случайную величину , которая характеризует число появлений события в независимых испытаниях. Эту случайную величину можно представить в виде суммы случайной величины , каждая из которых характеризует число появлений события в испытании. Нормированная сумма будет иметь вид: .

Если случайная величина подчиняется биноминальному закону распределения, то вычисление вероятности того, что некоторое событие появиться раз в испытаниях по формуле Бернулли затруднительно, если достаточно большое, а мало. В этом случае можно воспользоваться следующими теоремами:

Теорема Мавра -Лапласа (локальная): Пусть производится испытаний, в каждом из которых

некоторое событие может появиться с вероятностью . Тогда для всех , удовлетворяющих условию ( где - произвольные числа) выполняется соотношение:

Локальная теорема используется при больших значениях для вычисления , где некоторое событие наступает раз в испытаниях.

Теорема Муавра- Лапласа (интегральная): Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью . Тогда для любых и

справедливо соотношение:

Из предельного равенства теоремы следует формула:

число появлений событий в испытаниях.

Отсюда вытекают следующие соотношения:

2Ф*

2Ф*

В отличии от теорем Бернулли и Пуассона последние две формулы более точную оценку

вероятности отклонений частоты появления событий от его математического ожидания и

частости события от вероятности появления события в каждом испытании.

Тест для самоконтроля:

1. Сущность предельных теорем и закона больших чисел заключается:

• В определении числовых характеристик случайных величин при большом числе наблюдаемых данных;

• В поведении числовых характеристик и законов распределения наблюдаемых значений случайных величин;

• В определении области применения нормального закона распределения случайных величин при сложении большого количества случайных величин;

• В поведении числовых характеристик и законов распределения случайных величин при увеличении числа наблюдений и опытов.

• В определении суммарных значений основных характеристик законов распределения.

Задачи для самостоятельной работы:

1. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение: - случайная величина, характеризующая число поражений мишени при 100 выстрелах

.

Так как велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

В таблице найдем Искомая вероятность

2. Найти вероятность того, что событие наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равно 0,6.

Ответ:

3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51 . Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Ответ:

4. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,5. Используя неравенство

Чебышева оценить вероятность того, что число появлений события будет заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Решение: - число появлений события в 100 независимых испытаниях. Найдем математическое ожидание и дисперсию :

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений событий и математическим ожиданием

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:

Подставляя получим:

5. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0Б25. Используя неравенство

Чебышева, оценить вероятность того, что число появлений события заключено в пределах от

150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

Ответ:

Лекция № 6. Двумерные случайные величины.

Совокупность случайных величин образуют мерную случайную

величину . Если экономический процесс описывается при помощи двух

случайных величин и , определяется двумерная случайная величина или

Функция распределения системы двух случайных величин , рассматриваемой как

функция переменных , называется вероятность появления события

:

.

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в

бесконечную полуполосу или и прямоугольник

Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределения двумерной дискретной случайной величины называется множество

всевозможных значений дискретных двумерных случайных величин и

соответствующих им вероятностей При этом

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Функция , равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной

величины в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника,

когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения

вероятностей:

.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Вероятность попадания случайной точки в область определяется равенством:

Вероятность того, что случайная величина приняла значение при условии, что

случайная величина приняла фиксированное значение, вычисляется по формуле:

Начальным моментом порядка системы называется математическое

ожидание произведений и , т.е. .Если и -дискретные

случайные величины, то

Если и - непрерывные случайные величины, то

Центральным моментом порядка системы называется математическое

ожидание произведений и , т.е.

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

где

- плотность распределения системы .

Условным математическим ожиданием при ( при ) называется

выражение вида:

-для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины .

Корреляционным моментом независимых случайных величин и , входящих в

двумерную случайную величину , называют математическое ожидание произведений

отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин и , входящих в

двумерную случайную величину , равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин и , входящих в

двумерную случайную величину , называют отношение корреляционного момента к

произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции удовлетворяет условию и определяет степень линейной

зависимости между и . Случайные величины, для которых =0 , называются

некоррелированными.

Уравнения и называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, - линиями регрессии.

Тест для самоконтроля:

1. Коэффициент корреляции случайных величин характеризует:

• Степень независимости между случайными величинами;

• Степень нелинейной зависимости между случайными величинами;

• Степень линейной зависимости между случайными величинами;

• Степень регрессии между случайными величинами;

• Степень разброса двух величин относительно математического ожидания.

• Степень отклонения двух величин от их математических ожиданий.

Задачи для самостоятельной работы:

1. Передается сообщение кораблем “SOS”. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85 . Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.

Решение: Пусть -событие, состоящие в том, что сигнал принимает первая радиостанция. - событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция. Множество значений

X= 1 - сигнал принят первой радиостанцией;

X= 0 - сигнал не принят первой радиостанцией.

Множество значений .

Y=1 - сигнал принят второй радиостанцией,

Y= 0 - сигнал не принят второй радиостанцией.

Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:

Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, составляет:

Тогда закон распределения случайной величины равен:

Y X	0	1
0	0,0075	0,1425
1	0,0425	0,8075

Таким образом, напишем функцию распределения:

2. Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.

Ответ:

Y X	0	1
0	0,14	0,21
1	0,26	0,39

3. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца ( случайная величина ) и диаметр отверстия ( случайная величина ). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% - нестандартной толщиной и 1 % - бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределения двумерной случайной величины ; одномерные распределения составляющих и ; математические ожидания составляющих и ; корреляционный момент и коэффициент корреляции между

составляющими и двумерной случайной величины .

Ответ:

	0	1
0	0,01	0,03
1	0,01	0,95

4. Случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри квадрата . Вершины которого имеют координаты . Определить плотность распределения случайной величины и условные плотности распределения

Ответ:

при

при

5. Двумерная случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри

квадрата , вершины которого имеют координаты Найти

плотность вероятностей и функцию распределения

Ответ:

6. Поверхность распределения системы случайных величин представляет собой

полушар с центром в начале координат радиуса . Найти плотность распределения

вероятностей.

Ответ: внутри круга с центром в начале координат радиуса

; вне этого круга =0.

7. Задана дискретная двумерная случайная величина:

Х	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения , при условии что

б) условный закон распределения , при условии, что

в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.

8. Непрерывная двумерная случайная величина равномерно распределена внутри

прямоугольного треугольника с вершинами О(0;0),А(0;8),В(8,0). Найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) плотность распределения вероятностей составляющих..

Ответ: а)

б)

вне указанных интервалов функция равна нулю.

6. В продукции завода брак вследствие дефекта М составляет3%, а вследствие дефекта К-

4,5% . Годная продукция составляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. Вычислить коэффициент корреляции дефектов М и К. Ответ: 2,5%;0,669.