Лекция №4. Нормальное распределение.

Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:

где - параметры распределения.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию:

,

называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

Центральные моменты случайной величины с нормальным законом распределения вычисляются через следующие рекуррентные соотношения:

поскольку то нечетные центральные моменты равны нулю, а четные центральные моменты равны:

Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального закона распределения равны нулю:

так как они характеризуют скошенность и крутизну исследуемового закона распределения по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения, на заданный интервал , определяется следующим образом:

или

функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:

или

Интервалом практически возможных значений случайной величины , распределенной по нормальному закону , будет интервал

Тесты для самоконтроля:

1. Нормальный закон распределения имеет следующую функцию плотности распределения :

• 

• 

• 

• 

• 

2. Для нормального закона распределения вероятность попадания случайной величины в интервал равен:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Задачи для самостоятельной работы:

1. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: средняя масса одной коробки – 1,06 кг. Известно, что только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение, предполагая, что масса коробок распределена нормально.

Решение. Пусть случайная величина - масса коробки с шоколадом. Из условия задачи следует, что случайная величина распределена нормально и что . Тогла стандартное отклонение найдем из формулы, используя равенство

Так как только 5% коробок имеют массу меньше 1 кг и, следовательно, масса остальных коробок больше 1 кг., то можно записать:

или

По таблице находим откуда .

Ответ:

2. На автоматическом токарном станке изготавливаются болты, номинальная длина которых 30 мм. Наблюдаются случайные отклонения от этого размера, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением 1мм. При контроле бракуются все болты, размеры которых отличаются от номинального больше, чем на допуск 3 мм. Найти вероятность того, что наудачу выбранный болт будет бракованный.

Ответ: 0,0028.

3. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . При каком значении вероятность попадания случайной величины в интервал (2.4) достигает максимума?

Ответ: 2,942.

4. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Ответ: =15,39; =3,26.

5. Химический завод изготавливает серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см кубический. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинальной более, чем на 0,01 г/ см. кубический.

Ответ: 0,898.