Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности:

где постоянная и называется параметром экспоненциального распределения.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

Математическое ожидание . Дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

Тесты для самоконтроля:

1. Законы распределения случайной дискретной величины представляются в виде:

• функции распределения и совокупностью значений ;

• функции распределения и функции плотности распределения ;

• функции распределения и совокупностью значений ;

• функции распределения и рядом распределения ;

• функции распределения и ;

• функции распределения и .

2. Законы распределения непрерывной случайной величины представляются в виде:

• функции распределения и совокупностью значений ;

• функции распределения и функции плотности распределения ;

• функции распределения и совокупностью значений ;

• функции распределения и рядом распределения ;

• функции распределения и ;

• функции распределения и .

3. Функция распределения случайной величины это:

• Вероятность того, что

• Вероятность того, что

• Вероятность того, что

• Вероятность того, что

• Вероятность того, что .

4. Функция плотности распределения случайной величины это:

• средняя плотность распределения вероятности на интервале , равная ;

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная ;

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная ;

• предельная средняя плотность вероятности на интервале , равная ;

• средняя плотность распределения вероятности на интервале , равная ;

5. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин это:

• Среднее арифметическое, дисперсия, квантиль, моменты -того порядка, мода и медиана;

• Дисперсия, центральные и начальные моменты -того порядка, среднее геометрическое, мода и медиана;

• Математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, центральные и начальные моменты -того порядка.

• Математическое ожидание, среднее арифметическое, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана, центральные и начальные моменты -того порядка.

• Математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, центральные и начальные моменты -того порядка, эксцесс, асимметрия.

6. Функция распределения и функция плотности распределения имеют следующие свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

7. Дисперсия случайно величины равна:

• 

• 

• 

• 

8. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

• 

• 

• 

• 

• 

• .

Задачи для самостоятельной работы:

• Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбираются случайным образом ( с возвратом) 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины Х- числа дефектных изделий.

Решение. По условиям задачи случайная величина Х, подчиняется биноминальному распределению и может принимать следующие значения Х=0,1,2,3,4,5. Найдем по формуле Бернулли вероятности появления этих значений случайной величины Х. Обозначим через объем нашей выборки, возможное число бракованных изделий, вероятность появления которых в каждом опыте постоянна и равна . Соответственно вероятность появления нормального изделия в каждом опыте будет равна Подставив эти значения в формулу получим:

• Продавец мороженного в солнечный день может заработать 100 ден. единиц, а в дождливый – 30 ден. ед. Чему равна ожидаемая дневная выручка , если вероятность того, что день окажется дождливым, рана 0,35? Ответ: 72 ден. ед.

• Установлено, что численность обрывов нити за некоторой промежуток времени следует закону Пуассона. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Наблюдения показали, что в течении 1 минуты в среднем происходит 5 обрывов. Определить вероятность того, что в течении 1 минуты произойдет:

• 5 обрывов;

• не менее пяти обрывов.

Задачи для самостоятельной работы:

1. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей:

Найти параметр С и функцию распределения

Решение.

Для нахождения С воспользуемся свойством 2 плотности распределения вероятностей: т.е. откуда Следовательно:

Значение функции распределения зависит от действительного числа , поэтому если:

1. то

2. то

3. то

Итак,

Ответ:

.

2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность распределения вероятностей и вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (0;2).

Решение:

Так как в точках непрерывности , то

Вероятность вычисляем по формуле:

Эту вероятность можно вычислить с помощью функции распределения:

3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Ответ:

4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Ответ: если вне этого интервала

5. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

6. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения:

Ответ: