1. Основные виды отображений.

В п.25 главы 2 введено понятие отображения А: ХY . В математическом анализе в качестве отображений фигурируют числовые функции одной или нескольких переменных, вектор-функции скалярного аргумента числовые последовательности и др.

Рассмотрим подробнее основные из этих отображений.

3.1.1. Числовая функция одной переменной.

Отображение f: ХY называется числовой функцией одной переменной, если ХR и Y R.

Если то соответствующее значение функции обозначают y = f (x) и говорят, что на множестве Х определена числовая функция¹ f (x).

Множество Х называется областью определения, а множество – областью значений функции. Очевидно, что

Множество пар чисел называется графиком функции y = f (x) (рис. 3.1.1). Оно определяет некоторую кривую в декартовой системе координат Оху.

Графики функций в прямоугольной системе координат обладают следующими свойствами:

1. график функции симметричен по отношению к графику функции y = f (x) относительно оси Ох;

2. график функции симметричен по отношению к графику функции y = f (x) относительно оси Оу;

3. график функции y = f (xa) представляет собой сдвинутый вдоль оси Ох на величину а график y = f (x);

4. график функции y = f (x)+b представляет собой сдвинутый вдоль оси Оy на величину b график y = f (x);

5. график функции y = kf (x) есть растяжение (k > 1) графикa y = f (x) в k раз (или сжатие при k < 1 в раз ) вдоль оси Оу;

6. график функции y = f (аx) представляет собой растяжение (а < 1) графикa функции y = f (x) в раз (или сжатие при а > 1 в а раз) вдоль оси Ох.

Рассмотрим следующие классы функций:

1. основные элементарные функции;

2. элементарные функции;

3. обратные функции;

4. сложные функции.

К основным элементарным функциям относятся:

а) степенная:

б) показательная:

в) логарифмическая:

г) тригонометрические:

д) обратные тригонометрические:

Элементарными функциями являются (по определению) основные элементарные функции и все те, которые можно образовать из них с помощью конечного множества алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и операций взятия функции от функции.

Например:

Функция Хевисайда²

функция знака («сигнатура»)

функция Дирихле³

элементарными не являются.

Задавать функции можно с помощью таблицы, графически и аналитически (формулой). Функции, заданные формулой, удобно классифицировать в соответствии с теми алгебраическими действиями, которые используются при их вычислении. Алгебраическая классификация функций может быть представлена следующей схемой (рис. 3.1.2).

Целые функции (многочлены, полиномы) – функции вида

Число п называется степенью полинома.

К дробным рациональным относятся функции вида

где и  целые функции, а результат деления не сводится к полиному. Если m < n , то дробь называется правильной; если m  n , то – неправильной.

Объединение множеств целых и дробных рациональных функций называется множеством рациональных функций. Рациональные функции характеризуются тем, что при их вычислении используются только следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую положительную степень. Заметим, что коэффициенты многочленов могут быть иррациональными числами (например, и т.д.).

К иррациональным относят такие функции, которые вычисляются с помощью тех же действий, что и рациональные, или с помощью извлечения корня, причем результат не является рациональной функцией. Например,

Объединение множеств рациональных и иррациональных функций называется множеством алгебраических функций.

Всякую неалгебраическую функцию называют трансцендентной

,

Трансцендентные функции нельзя выразить при помощи конечного множества алгебраических операций над аргументом.

Отображение y = f (x): XY называется обратимым, если для любого yY cуществует единственный элемент x = g (y) X, для которого f (x) = y.

Отображение, обратное к f (x), называют обратной функцией. При этом f (x) называется прямой функцией.

Обозначается обратная функция через Очевидно, что

Функции и называются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 3.1.3).

Заметим, что имеет обратную функцию только при

Пусть

Тогда h = g (f (x)) определена на множестве Х и называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций f и g ). Например, суперпозицией функций и будет функция