1.3 Приклад статистичного аналізу випадкової величини

В таблиці 1.4 наведені зібрані за два місяці статистичні дані обсягу поставок металопрокату з центральної бази постачання споживачам.

Таблиця 1.4 – Вихідні статистичні дані

№ спостереження	Величина щомісячної поставки Q (m)		№ спостереження	Величина щомісячної поставки Q (m)
	місяці			місяці
	1	2		1	2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	11.46 6.12 16.20 0.85 2.70 6.45 2.49 3.32 0.30 4.35 0.47 0.22	134.60 3.01 4.76 0.58 8.71 2.65 1.49 1.60 4.88 1.35 0.03 2.76	13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	5.30 0.05 2.38 1.64 15.58 15.08 1.38 1.72	1.80 0.60 1.42 2.20 0.50 2.00 13.60 4.26 18.00 0.34 2.60 2.83

Сукупна статистична вибірка обємом n = 44 спостереження включає дві незалежні малі вибірки обємами n₁ = 20 i n₂  =  24 спостереження.

Статистичний аналіз виконуємо в такій послідовності.

1.Виключення із статистичного ряду грубих похибок. Встановлення грубих (аномальних) похибок проводимо на основі критерію В.І.Романовського для малих вибірок.

Для цього розраховуємо статистичні характеристики вибірок.

№ вибірки
1 2	4.90 9.02	28.70 730.26	5.37 27.00

Розглянемо першу вибірку. Задаємось довірчою ймовірністю P_д = 0.95 і для n₁ = 20 за таблицею додатка Д2 визначаємо коефіцієнт q₁ = 2.15. Розраховуємо за формулою (1.6) граничну допустиму похибку окремого спостереження

= q₁ = 5.37  2.15 = 11.55.

Різниця Q_max– = 16.2 – 4.9 = 11.3   = 11.5, отже значення Q_max із вибірки не виключається.

Для другої вибірки маємо:

q₂=1.96; = = 271.96 = 52.92;

Q_max – = 134.6 – 9.02 = 125.58  = 52.92.

Тобто максимальне значення випадкової величини Q_max = 134.6 із вибірки виключається.

Для нового ряду встановлюємо нове значення Q_max = 18.00, визначаємо середньоквадратичне відхилення; обчислюємо критерій _пр; порівнюємо Q_max – з _пр; виключаємо при необхідності із статистичного ряду Q_max і отримуємо новий ряд із нових членів. Ці операції повторюємо до повного очищення ряду від аномальних значень випадкової величини . Результати наступних розрахунків для виключення грубих похибок наведені в таблиці.

Qmax	Обєм вибірки n2		S2		q	пр	Qmax –	Висновок
18.0 13.6 8.71 4.88	23 22 21 20	3.56 2.91 2.63 2.08	19.14 9.51 4.05 1.96	4.38 3.10 2.00 1.40	1.96 1.96 1.96 2.15	8.58 6.08 6.92 3.08	14.44 10.69 6.08 2.80	Виключ. Виключ. Виключ. Залиш.

Виключені значення випадкових величин в таблиці 1.4 виділені жирним шрифтом .

2. Перевірка однорідності сукупності. Для визначення істотності відмінностей двох вибірок розраховуємо за формулою для малих вибірок критерій

t = =

= = 1.92.

За таблицею додатка Д4 для числа ступенів свободи к = n₁+ n₂  = 20 + 20 – 2  = 38 і Р_ = 0.95 визначаємо t_  = 2.02. Обчислене значення   t  t_ , отже статистична сукупність вважається однорідною.

3. Визначаємо статистичні характеристики скорегованої сукупної вибірки об’ємом n=40 спостережень:  = 1.66.

4. Визначення мінімальної кількості спостережень. Згідно з додатком Д3 для  Р_ =  0.95  t = 1.96. Результати розрахунку за формулою (1.14) n_min для різних значень точності оцінки  наведені в таблиці.

,%	1	2	3	4	5
nmin	517	129	57	32	21

За результатами розрахунків робимо висновок, що об’єм вибірки забезпечує точність розрахунків  = 3.7%, яке лежить в межах припустимої , рівної 5%.

5. Встановлення емпіричного закону розподілу. Для побудови інтервального ряду розподілу досліджуваної випадкової величини визначаємо розмірність інтервалу

I = = = 2.6.

Приймаємо I = 3.0. Інтервальний ряд розподілу наведено в таблиці.

Інтервал випадкової величини	Середина інтервалу xi	Кількість значень mі	Частість	Накопичена частість F(х)
0.03 – 3.00 3.00 – 6.00 6.00 – 9.00 9.00–12.00 12.00 – 15.00 15.00 – 18.00	1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5	26 7 2 1 1 3	0.650 0.175 0.050 0.025 0.025 0.075	0.650 0.825 0.875 0.900 0.925 1.000

=40

За даними таблиці будуємо (рисунок 1.3) графіки емпіричного закону розподілу. По зовнішньому виду розподілу можна попередньо припустити, що досліджувана випадкова величина підпорядковується показниковому закону розподілу.

а) б)

Рисунок 1.3 – Графіки розподілу величини щомісячної поставки вантажів: а - гістограма і полігон; б – кумулята.