- •Практичне заняття № 1 статистичні дослідження вхідних випадкових параметрів системи
- •1.1 Методика попередньої обробки статичної інформації
- •1.1.1 Визначення основних статистичних характеристик
- •1.1.2 Виключення грубих аномальних спостережень
- •1.1.3 Перевірка статистичної однорідності сукупності
- •1.1.4 Визначення мінімальної кількості спостережень
- •1.2 Встановлення емпіричного закону розподілу досліджуваних параметрів
- •1.3 Приклад статистичного аналізу випадкової величини
- •Література
- •Практичне заняття №2 систематизація статистичної інформації для кореляційно–регресійного аналізу процесів функціонування системи
- •2.1 Загальні положення
- •2.2 Рекомендації щодо відбору факторів
- •2.3 Методика комплексної систематизації статистичної інформації
- •2.4 Приклад повного статистичного аналізу вихідної інформації
- •Розрахунковий аналіз
- •Література
- •Практичне заняття № 3 аналіз процесу функціонування систем
- •3.1 Основні теоретичні положення
- •3.1.1 Основні поняття
- •3.1.2 Формалізація марківського випадкового процесу з дискретним часом
- •3.1.3 Формалізація марківського процесу з неперервним часом
- •3.2 Приклади побудови формалізованих моделей функціонування системи
- •3.2.1 Система з дискретним станом і дискретним часом
- •3.2.2 Системи з дискретним станом і неперервним часом
- •Література
- •Практичне заняття № 4 статистичні моделі процесів функціонування систем
- •4.1 Основні принципи і поняття імітаційного моделювання
- •4.2 Основи моделювання методом статистичних випробувань
- •4.3 Приклад побудови статистичної моделі
- •Практичне заняття № 5 статистичне моделювання випадкових подій
- •5.1 Основні процедури моделювання подій.
- •Використовуючи таблицю або генератор випадкових чисел рвп [0, 1] процедуру моделювання випробувань за “жеребкуванням” виконують в такій послідовності:
- •5.2 Моделювання незалежних подій
- •5.3 Моделювання залежних подій.
- •Практичне заняття № 6 статистичне моделювання дискретних випадкових величин
- •6.1 Імітація на основі емпіричного розподілу дискретної величини
- •6.2 Імітація на основі теоретичних законів розподілу
- •Практичне заняття № 7 статистичне моделювання неперервних випадкових величин.
- •7 .1 Загальні принципи моделювання
- •7.2 Імітація за відомим теоретичним законом розподілу
- •7.3 Наближені способи імітації
- •7.3.1 Імітація методом кускової апроксимації
- •7.3.2 Імітація на основі несистематизованої статистичної таблиці
- •7.3.3 Графоаналітичний спосіб імітації
- •Література.
3.1.2 Формалізація марківського випадкового процесу з дискретним часом
Розглянемо деяку фізичну систему S з кінцевим числом всіх можливих станів S1, S2,…, Sn, для якої переходи із стану в стан можливі тільки в дискретні моменти часу t1, t2,…,tk,…,tn.
Для будь-якого моменту часу t1, t2 ,…,tk існують деякі імовірності переходу системи із одного стану в будь-який інший, а також імовірності перебування (затримки) системи у даному стані. Ці імовірності називаються перехідними імовірностями марківського ланцюга.
Поведінка системи, яка описується ланцюгом Маркова, характеризується тим, що у послідовні моменти часу t1, t2, t3,..., система переходить в інший стан (або залишається у попередньому) випадковим чином (наприклад, S1→S2→S2→S2→S3→S4…, або S1→S3→S2, … i т.д.).
Позначимо подію перебування системи після k моментів часу (кроків) у стані S через Si(k) , а ймовірності цих подій після k-го кроку як
p1(k)=P(S1(k)); p2(k)=P(S2(k)); …; pn(k)=P(Sn(k)).
Процес, який відбувається в системі, можна подати послідовністю (ланцюгом) подій
S 1(0), S3(1), S2(2), S2(3), S3(4),… .
Така випадкова послідовність подій називається марківським ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу із будь-якого стану Si в будь-який Sj не залежить від того, коли і як система прийшла в стан Si. Найважливішою особливістю марківського ланцюга є те, що перехід системи у наступні моменти в деякий стан залежить тільки від стану, у якому вона була в даний момент.
Стан системи S1, S2,… Sn в момент tk характеризують умовними ймовірностями
Pij =P
того, що система за один крок перейде в деякий стан Sj за умовою, що в момент tk-1 вона знаходилась у стані Si.
Оскільки система може перебувати в одному із n станів, то для формалізації процесу в кожний момент часу tk необхідно задати n2 ймовірностей переходу Pij . Формалізовану модель процесу можна представити у вигляді таблиці (таблиця 3.1) або матриці (3.1).
Таблиця 3.1 – Перехідні ймовірності системи
Стан |
Стан |
|||
S1 |
S2 |
… |
Sn |
|
S1 |
P11 |
P12 |
… |
P1n |
S2 |
P21 |
P22 |
… |
P2n |
… |
… |
… |
… |
… |
Sn |
Pn1 |
Pn2 |
… |
Pnn |
P = , (3.1)
де Pij – ймовірність переходу системи за один крок із стану Si в стан Sj , а Pii – ймовірність затримки системи в стані Si.
Матриця (3.1) називається перехідною, або матрицею перехідних ймовірностей.
Відзначимо деякі особливості матриці:
1) кожний рядок характеризує вибраний стан системи, а його елементами є ймовірності можливих переходів системи за один крок із вибраного ( і-го ) стану, у тому числі і перехід в саму себе;
2) елементи стовпців показують ймовірності всіх можливих переходів системи за один крок в заданий ( ј-й ) стан (інакше, рядок характеризує імовірність переходу системи із стану, а стовпець – в стан);
3) сума ймовірностей кожного рядка дорівнює одиниці, так як переходи утворюють повну групу подій;
4) матриця перехідних ймовірностей є обов'язково квадратною матрицею з невід'ємними елементами, причому 0 Pіј 1, а Pij =1.
5) рівність Pij =0 означає , що перехід за один крок із і-го стану в j-й неможливий;
6) по головній діагоналі перехідних імовірностей стоять імовірності Pii того, що система не вийде із стану Sі, а залишиться в ньому.
Випадковий процес функціонування системи з дискретними станами можна представити у вигляді геометричної схеми-графу станів (рисунок 3.2)
Рисунок 3.2 – Граф станів і переходів системи.
Вершини графа, зображені прямокутниками, визначають стани системи, а дуги графа, показані стрілками – переходи її із одних станів в інші .
Імовірності станів i переходів системи зображують на відповідних дугах графа. Такий граф називається розміченим графом станів. Матрицю перехідних ймовірностей P можна будувати декількома способами.
Один із них полягає у тому, що поведінка великого числа окремих елементів системи (автомобілі, навантажувально-розвантажувальнi пункти, перевізні документи, види вантажів i т.д.) розглядається за окремі періоди часу T (година, зміна, день) протягом відповідно невеликого періоду функціонування системи (зміна, доба, тиждень, місяць).
Другий спосіб передбачає вивчення окремо вибраного елемента системи протягом достатньо великого періоду часу T (наприклад, дослідження роботи вантажних пунктів, окремих дільниць складів, навантажувально-розвантажувальних машин, транспортних засобів i т.д. періодами часу T, рівними одній годині, дню, впродовж декількох місяців, років).
За фіксованими показниками стану при дослідженні систем можна знайти:
1) число переходів системи із одного стану в інший ;
2) число появ тих чи інших ознак в окремі періоди Т функціонування системи (наприклад, число показників в різноманітних документоформах; число видів перероблюваних вантажів; число прибуваючих на вантажний пункт транспортних засобів i т.д.).
На підставі проведених досліджень визначається матриця показників
Z = . (3.2)
Подалі розраховують суму значень показників по кожному рядку. Поділивши кожний елемент рядка на відповідну суму показників, отримаємо основну матрицю (3.1) перехідних ймовірностей.
Використовуючи матрицю (3.1) можна визначити ймовірності станів Pi(k) системи після k-го кроку переходів за рекурентною формулою
Pi (k) = , (i=1,2,…,n), (3.3)
де n – можливе число станів системи ;
Pj (k-1) – ймовірність перебування системи в j-му стані, в якому вона опинилась після ( k-1 )-го переходу;
Pji – ймовірність переходу системи із j-го в i-й стан.