4. Основные теоремы о пределах функций

Ниже приводятся основные теоремы о пределах функций, позволяющие упрощать процесс вычисления пределов сложных функций.

Рассмотрим функции, зависящие от одного и того же аргумента: и . Будем предполагать существования пределов этих функций при (здесь либо число, либо , либо ):

и .

Теорема 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

.

Теорема 3. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций:

.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя нулевой:

.

Теорема 6. Если функция при ( – число) имеет конечный предел, то в некоторой окрестности точки функция ограничена.

Эта теорема при формулируется так: если функция при имеет конечный предел, то существует число такое, что на бесконечном промежутке функция ограничена.

5. Теорема Коши о существования предела функции

В определении предела функции участвует и само искомое значение предела. В следующей теореме утверждается существование предела функции при , (где либо произвольное число, либо , либо ) не используя значение самого предела.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме быть может, самой точки.

Теорем Коши. Для того, чтобы функция имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое, что для всех , удовлетворяющих условиям , , и , выполняется неравенство .

Приведенная теорема утверждает только существования предела функции при к некоторому числу . Однако, чему равно значение числа , теорема Коши отвечать не может.

6. Бесконечно малые величины и их свойства

Функция называется бесконечно малой величиной при (где либо произвольное число, либо , либо ), если ее предел при :

( – БМВ) .

При доказательстве многих утверждений, связанных с предельными соотношениями, важное значение имеет следующее утверждение.

Теорема 1. Число является пределом функции при , тогда и только тогда, когда существует – бесконечно малая величина при такая, что .

Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин.

Теорема 2. Если и являются бесконечно малыми величинами при , то их сумма является бесконечно малой величиной.

Замечание. Утверждение теоремы 2 остается верным и для любого конечного числа бесконечно малых величин.

Теорема 3. Если являются бесконечно малой величиной при , а – ограниченной функцией при , то их произведение является бесконечно малой величиной. при .

Более короткая формулировка теоремы 3: Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину, является бесконечно малой величиной.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину, является бесконечно малой величиной.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной.