Математический анализ конспекты лекций

№ 4

Непрерывность функции

Содержание
1.	Определение непрерывности функции…………………………………………………………...	3
2.	Непрерывность простейших элементарных функций…………………...........................	4
3.	Арифметические операции над непрерывными функциями…………………..........	7
4.	Суперпозиция непрерывных функций…………………...…………………...…………………..	7
5.	Точки разрыва функции…………………...…………………...…………………...…………………......	8
6.	Классификация точек разрыва функции …………………...…………………...........................	9
7.	Обращение непрерывной функции в нуль…………………...…………………........................	10
8.	Промежуточные значения непрерывной функции…………………...…………………....	11
9.	Непрерывность обратной функции…………………...…………………...…………………..........	11
10.	Ограниченность непрерывной функции на отрезке…………………...………………….	13
11.	Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке…...	14
12	Равномерная непрерывность функции…………………...…………………...…………………..	15

Лекция № 4

Определение непрерывности функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Суперпозиция непрерывных функций. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва функции. Обращение непрерывной функции в нуль. Промежуточные значения непрерывной функции. Непрерывность обратной функции. Ограниченность непрерывной функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке. Равномерная непрерывность функции.

1. Определение непрерывности функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (сама точка также входит в эту окрестность ).

Пусть . Если переменная получит некоторое приращение (положительное или отрицательное) и примет значение . Тогда и функция получит некоторое приращение и новое значение функции будет равно . Приращение функции выразится формулой .

1.1. Определение непрерывности функции на языке приращений. Если любому достаточно малому приращению аргумента точки соответствует достаточно малое приращение функции , то функция называется непрерывной в точке :

или или .

1.2. Определение непрерывности функции на языке «-». Функция называется непрерывной в точке , если для любого найдется такое , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство :

.

1.3. Определение непрерывности функции на языке последовательностей. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к :

или .

Отметим, что все приведенные определения непрерывности функции в точке являются эквивалентными: если функция является непрерывной в точке по одному из приведенных определений, то она будет непрерывной в точке по двум другим определениям.

1.4. Определение непрерывности функции на промежутке. Пусть функция определена в каждой точке интервала . Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервале.

Если функция определена и при , и при этом предел справа в точке равен значению функции в этой точке:

,

то говорят, что функция в точке непрерывна справа.

Если функция определена и при , и при этом предел слева в точке равен значению функции в этой точке:

,

то говорят, что функция в точке непрерывна слева.

Если функция непрерывна в каждой точке интервале , непрерывна в точке справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Важными свойствами обладают функции непрерывные на отрезке.