Математический анализ конспекты лекций

№ 3

Содержание
1.	Определение конечного предела функции………………………	3
2.	Определение бесконечного предела функции…………………...	4
3.	Односторонние пределы…………………………………………..	6
4.	Основные теоремы о пределах функций…………………………	8
5.	Теорема Коши о существования предела функции……………..	9
6.	Бесконечно малые величины и их свойства……………………..	10
7.	Сравнение бесконечно малых величин…………………………..	11
8.	Предельный переход в неравенствах…………………………….	12
9.	Неопределенные выражения……………………………………...	13
10.	Замечательные пределы…………………………………………...	15
11.	Таблица пределов………………………………………………….	16

Лекция № 3

Определение конечного предела функции. Определение бесконечного предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Теорема Коши о существования предела функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Сравнение бесконечно малых величин. Предельный переход в неравенствах. Неопределенные выражения. Замечательные пределы. Таблица пределов.

1. Определение конечного предела функции

Окрестностью точки , будем называть любой интервал с центром в этой точке: , где – произвольное число. Если из окрестности точки удалить саму точку, то оставшуюся часть будем называть выколотой окрестностью точки . Если – выколотая окрестность точки , то ее можно записать в виде . Выколотую окрестность можно представить и так: .

Упражнение. Доказать равенство множеств

.

Пусть функция определена в некоторой выколотой окрестности точки .

1.1. Предел функции в точке. Приводим два равносильных определения предела функции.

Определение предела функции на языке «–». Будем говорить, что функция имеет в точке предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Если число является пределом функции в точке , то пишут: :

.

Определение предела функции на языке последовательностей. Будем говорить, что функция имеет в точке предел, равный , если для любой последовательности такой, что , и сходящейся к : , выполняется равенство . Другими словами, если последовательность сходится к , то последовательность значений сходится к :

.

1.2. Предел функции при . Будем говорить, что функция имеет при предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :

.

1.3. Предел функции при . Будем говорить, что функция имеет при предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :

.