Математический анализ конспекты лекций

№ 2

Содержание
1.	Числовые последовательности. Примеры…………………………...	3
2.	Действия над последовательностями………………………….........	4
3.	Ограниченные и монотонные последовательности………………....	5
4.	Сходящаяся последовательность. Предел последовательности……...	8
5.	Бесконечно малая величина………	10
6.	Свойства сходящихся последовательностей………………………....	11
7.	Предельный переход в неравенствах………………………………….	13
8.	Теоремы существования. Число …………………………….	15

Лекция 2

Вещественная функция натурального аргумента – числовая последовательность. Подпоследовательность. Действия над последовательностями. Ограниченные и монотонные последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Теорема Коши.

Практическое занятие 2: Решение задач на определение общего члена последовательности. Проверка фундаментальности и сходимости последовательностей. Вычисление предела последовательностей. Нахождение наименьшего номера, начиная с которого достигается нужная оценка.

1. Числовые последовательности. Примеры

Рассмотрим функции , заданные на множестве натуральных чисел . Такие функции называются функциями натурального аргумента.

Множество значений функции натурального аргумента – называется числовой последовательностью (или последовательностью), а каждое значение этой функций – членом числовой последовательности. Так как числовая последовательность является конкретным и часто используемым понятием, то удобно для неё использовать иное обозначение, а именно, вместо будем писать : .

Члены числовой последовательности располагаются в порядке возрастания аргумента

,

при этом

– первый член последовательности;

– второй член последовательности;

– третий член последовательности;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– -й или общий член последовательности.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Последовательность коротко можно обозначать .

Последовательность , где произвольное вещественное число, называется стационарной последовательностью или постоянной величиной.

Пусть – произвольная последовательность. Для всякой последовательности натуральных чисел последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Пример 1.1. или .

Пример 1.2. или .

Пример 1.3. или .

Пример 1.4. или .

Пример 1.5. или .

2. Действия над последовательностями

Пусть даны последовательности и .

Произведением последовательности

или

на число называется последовательность

или .

Суммой двух последовательностей и называется последовательность

или .

Разностью двух последовательностей и называется последовательность

или .

Произведением двух последовательностей и называется последовательность

или .

Частным двух последовательностей и называется последовательность

или ,

при этом предполагается, что либо все отличны от нуля, либо все отличны от нуля начиная с некоторого номера (в этом случае частное определяется с этого номера).