3)Решение системы матричнымспособом.

Запишем данную квадратную систему линейных алгебраических уравнений

в виде произведения матриц. Для этого составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

столбец свободных членов:

В = .

и столбец неизвестных Х = .

Тогда система уравнений запишется вматричном виде

∙ = ,

т.е. А∙Х =В или Х = А^-1∙В.

Найдем обратную матрицу А^-1. Для этого

1. вычислим главный определитель  матрицы A :

= =( С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄)=

= = 1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 =

=- = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 +

2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -( 3∙7+2∙10)=-41.

2. построим матрицу ( А_ij ) из алгебраических дополнений А_ij элементов a_ij,i,j=1,..,n , матрицы A.

Для этого найдем алгебраические дополнения А_ij = (-1)^i+j M_ij ( здесь определители M_ij вычисляем по правилу треугольника):

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ ∙ = 2 - 4 +6+6-1-8 = 1

А₁₂ = (-1)¹⁺² ∙ = -(-2 + 2 +9 - 3+1- 12) = 5

А₁₃ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 1 + 18+6 +2+6 = 35

А₁₄ = (-1)⁵ ∙ = -(2 - 1 + 12+ 4+2 + 3 ) = -22

А₂₁ = (-1)³ ∙ = -(-2 + 4 - 2- 2+1+ 8) = -7

А₂₂ = (-1)⁴ ∙ = -4 - 2 - 3+ 1+2+ 12 = 6

А₂₃ = (-1)⁵ ∙ =-(8 - 6 + 1- 2 + 4- 6 ) = 1

А₂₄ = (-1)⁶ ∙ = 4 + 1 – 12 – 4 + 4- 3 = -10

А₃₁ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 12 +1+4-4-3 = -10

А₃₂ = (-1)⁵ ∙ = -(8 - 1 +6 - 2- 6+ 4) = -9

А₃₃ = (-1)³⁺³ ∙ = -4 - 3 - 2+ 1- 12- 2 = -22

А₃₄ = (-1)⁷ ∙ = -(-2 - 2 - 4+ 2-8- 1) = 15

А₄₁ = (-1)⁵ ∙ = -(-2 - 1 – 12 +4 + 3 + 2) = 6

А₄₂ = (-1)⁶ ∙ = -4 – 18 + 1+6 + 6- 2 = -11

А₄₃ = (-1)⁷ ∙ = -(2 - 2 + 9 - 3-12 +1 )= 5

А₄₄ = (-1)⁸ ∙ = 2- 4 +6 - 6- 8+ 1 = -9

(А_ij ) = .

3. Транспонируем матрицу (А_ij )

(А_ij)^Т = .

4. Получим обратную матрицу

А^-1 = =∙ =

Тогда

Х = ∙ ∙ =

= =

= = = .

Ответ: .

Второй способ получения обратной матрицы.

Используется формула

,

где Е – единичная матрица; А – заданная матрица; - обратная матрица.

С ₁ С₂

С₂ := -2∙С₁ + С₂,

С₃ := -3∙С₁ + С₃, С₄ := С₁ + С₄,

С ₄ С₂

С₁ := С₂ + С₁, С₃ := -5∙С₂ + С₃, С₄ := -3С₂ + С₄,

С₁ := 5С₃ + 22С₁, С₂ := 3∙С₃ + 22С₂, С₄ :=- 15∙С₃ +22∙ С₄,

С₁ :=- С₄ +41С₁, С₂ := -5∙С₄ + 41С₂, С₃ :=35∙С₄ +41∙ С₃

Разделим первую и вторую строчки матрицы на 902, третью на -902.а четвертую на 41,получим

,

Следовательно,

А^-1 = .

Задание №3

Решить методом Гаусса.

.

Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

A = С₂ С₁

С₂ := -2∙С₁ + С₂, С₃ := С₁ + С₃, С₄ := -С₁ + С₄

С₃ := -5С₂ + С₃, С₄ := -С₁ + С₄

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

С₄ := -С₃ + С₄

r = rang A = 3  4. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, из которых 3 являются базисными. Положим x, y, z за базисные решения, так как базисный минор . Тогда находим общее решение системы.Для этого составим по полученной матрице систему уравнений

=> =>

=> .

Обозначим: t = С. Тогда система имеет множество решений :

,где С-параметр решения.

Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

.

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

или, вычисляя определитель, получим:

, т.е.

.

Находим его корни , . Найдем собственные векторы и , отвечающие соответственным этим собственным числам. Для этого рассмотрим ОСЛАУ:

.

Вычислим ОСЛАУ при . Тогда получаем систему

.

В силу того, что два уравнения одинаковы ( т.е. если второе уравнение разделить на 4, то получим первое уравнение), вычеркнем второе уравнение. В итоге получим одно уравнение с двумя неизвестными . Выразим одну из переменных через другую: .Полагая , получим , и потому

.

Придавая различные значения параметру с получим собственные векторы, соответствующие собственному числу

Вычисляя ОСЛАУ при приходим к системе

Так как два уравнения одинаковы, то вычеркивая одно из них и выражая одну переменную через другую, получим , , и потому

.

Так как с и d - произвольные числа, то можно положить c=1 и d=1. Тогда получим собственные векторы:

.