2)Решение системы по правилу Крамера

.

Составим матрицу, соответствующую данной системе:

А =

и столбец свободных членов:

В = .

Вычислим главный определитель ∆, отвечающий матрице А. Для этого, используя свойства определителей, преобразуем его с помощью элементарных преобразований. Имеем

∆ = =( С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄ )=

= =(раскроем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа)=а₁₂∙А₁₂ + а₂₂∙А₂₂ + а₃₂∙А₃₂ + а₄₂∙А₄₂ =

= а₁₂∙(-1)¹⁺²М₁₂ + а₂₂∙(-1)²⁺²М ₂₂ + а₃₂∙(-1)³⁺²М ₃₂ + а₄₂∙(-1)⁴⁺²М ₄₂=

=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (раскроем полученный определитель по первой строке)=- = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + 2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -( 3∙7+2∙10)=-41.

Чтобы получить определитель ∆₁ для вычисления x₁, заменим первый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

∆₁ = =( С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄)=

= = (раскроем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа)=а₁₂∙А₁₂ + а₂₂∙А₂₂ + а₃₂∙А₃₂ + а₄₂∙А₄₂ =

= а₁₂∙(-1)¹⁺²М₁₂ + а₂₂∙(-1)²⁺²М ₂₂ + а₃₂∙(-1)³⁺²М ₃₂ + а₄₂∙(-1)⁴⁺²М ₄₂=

=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (раскроем полученный определитель по первой строке)=- = - (1∙(3∙4 -1∙5)+0 +

2∙ (4∙5- 3∙1) = -( 1∙7+2∙17)=-41.

Чтобы получить определитель ∆₂ для x₂, заменим второй столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

∆₂ = =(С₃ := -4∙С₂ + С₃, С₄ := -С₂ + С₄ )=

= =(вынесем минус за знак определителя из третей и четвертой строк)= =(раскроем этот определитель по элементам второго столбца)=а₁₂∙А₁₂ + а₂₂∙А₂₂ + а₃₂∙А₃₂ + а₄₂∙А₄₂ =

= а₁₂∙(-1)¹⁺²М₁₂ + а₂₂∙(-1)²⁺²М ₂₂ + а₃₂∙(-1)³⁺²М ₃₂ + а₄₂∙(-1)⁴⁺²М ₄₂=

=0 + 1∙(-1)²⁺² +0+0 = (раскроем полученный определитель по правилу треугольника)=2∙9∙1 + 2∙(-2)∙13 + (-1)∙1∙1 –(-1)∙9∙2 - 1∙(-2)∙1 - 2∙1∙13 = 18-52-1 +18 +2 -26= =-41

Чтобы найти определитель ∆₃ для нахождения x₃, заменим первый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

∆₃ = =( С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄)=

= = (раскроем этот определитель по элементам второго столбца)==а₁₂∙А₁₂ + а₂₂∙А₂₂ + а₃₂∙А₃₂ + а₄₂∙А₄₂ = а₁₂∙(-1)¹⁺²М₁₂ + а₂₂∙(-1)²⁺²М ₂₂ + а₃₂∙(-1)³⁺²М ₃₂ + а₄₂∙(-1)⁴⁺²М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (раскроем полученный определитель по правилу треугольника)=- (3∙4∙4 +1∙1∙(-5) + 1∙(-1)∙2 - 2∙4∙(-5) - 1∙1∙3 - 1∙(-1)∙4) =-(48 -5 -2 +40 -3+4)=-82

Чтобы получить определитель ∆₄ для x₄, заменим четвертый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

∆₄ = =( С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄)=

= = (раскроем определитель по элементам второго столбца)=а₁₂∙А₁₂ + а₂₂∙А₂₂ + а₃₂∙А₃₂ + а₄₂∙А₄₂ = а₁₂∙(-1)¹⁺²М₁₂ + а₂₂∙(-1)²⁺²М ₂₂ +

а₃₂∙(-1)³⁺²М ₃₂ + а₄₂∙(-1)⁴⁺²М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 =(раскроем полученный определитель по правилу треугольника)=- (3∙3∙1 +0∙4∙(-5) + 1∙(-1)∙5 - 1∙3∙(-5) - 0∙1∙(-1) - 5∙3∙4) =-(9 +0 -5 +15 +0-60)=41.

Таким образом, находим

x₁ = = =1; x₂= = =1; x₃ = = = 2; x₄ = = = - 1.

Ответ: .