3. Стоячие волны

В ограниченных объемах частными решениями волнового уравнения (11.26) являются стоячие волны^. Для трубы длиной изменение давления в стоячей волне описывается общим выражением

, (11.27)

Точки, в которых

, (11.28)

и возмущение давления отсутствует, , называются узлами звукового давления. Точки, в которых значение модуля максимально и максимальна амплитуда колебаний возмущения со временем, называются пучностями звукового давления. В соответствии с формулой (11.25) скорость в стоячей волне будет даваться выражением

, (11.29)

Расположение узлов и пучностей давления и скорости в трубе зависит от граничных условий на ее концах. Если конец трубы закрыт, то есть представляет собой твердую непроницаемую стенку , то нормальная составляющая скорости равна нулю

. (11.30)

Это граничное условие вместе с уравнением (11.12) приводит к условиям

. (11.31)

Для трубы с закрытым концом с граничными условиями (11.30), (11.31) на конце с координатой удовлетворяют функции

(11.32)

, (11.33)

Если второй конец трубы длиной также закрыт, т.е. в точке должны снова выполняться условия (11.30), (11.31):

, , (11.34)

то должно выполняться условие

, . (11.35)

С учетом выражения (11.21)

, (11.36)

длины волн в данном случае могут принимать значения

, (11.37)

Возможные значения частот стоячих волн в трубе

, , (11.38)

называются собственными частотами. Уравнения стоячих волн (11.32), (11.33), (11.35) показывают, что на закрытых концах трубы всегда образуются узлы скорости (рис. 11.3) и пучности давления (рис. 11.4).

а б

Рис. 11.3. Скорость в стоячей волне в трубе длиной с двумя закрытыми концами, на которых образуются узлы скорости: а) мгновенный профиль волны; б) профили волны в различные моменты времени, узлы скорости обведены кружками.

а б

Рис. 11.4. Давление в стоячей волне (той же, что и на рис. 11.3) в трубе длиной с двумя закрытыми концами, на которых образуются пучности давления: а) мгновенный профиль волны; б) профили волны в различные моменты времени, узлы давления обведены кружками.

Если в одном из концов трубы находится излучатель (телефон), с диаметром малым по сравнению с диаметром трубы, то граничные условия будут теми же, что и для полностью жесткой границы – (11.30), (11.31). Для конца с приемником (микрофоном), диаметр которого также мал по сравнению с диаметром трубы будут также выполняться граничные условия (11.30), (11.31). Расстояние между двумя соседними узлами (где ) или пучностями (где возмущения максимальны) равно , т.е. половине длины бегущей волны .

При изменении частоты возбуждения, стоячие волны в закрытой трубе будут образовываться всякий раз, когда выполнено условие (11.37). Измерение расстояния между соседними пучностями позволяет определить скорость звуковых волн. Скорость звука определится по формуле

, (11.39)

где  – частота колебаний столба воздуха в трубе.