2. Сложение двух колебаний одного направления и одинаковых или близких частот

Сложим два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты.

(9.2)

Используя метод векторных диаграмм, получим уравнение результирующего колебания

(9.3)

где амплитуда А и начальная фаза φ соответственно задаются соотношениями

(9.4)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ – φ₁) складываемых колебаний.

Проанализируем значение амплитуды А в выражении (9.4) в зависимости от разности фаз (φ₂ – φ₁):

1. φ₂ – φ₁ = ± 2mπ (m = 0, 1, 2, …), тогда А = А₁ + А₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ – φ₁ = ± (2m + 1)π (m = 0, 1, 2, …), тогда А = |А₁ – А₂ |, т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω + Δω, причем Δω << ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

(9.5)

Складывая эти выражения и учитывая, что Δω/2 << ω, найдем

(9.6)

Результирующее колебание (9.6) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А_б которого изменяется по следующему периодическому закону:

(9.7)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

ω_б = Δω.

Период биений

Т_б = 2π /Δω. (9.8)

Характер зависимости (9.6) показан на рис.9.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (9.6), а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (9.7) амплитуды.

Определение частоты тона биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Рис. 9.5. Биения

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

(9.9)

где α – разность фаз обоих колебаний, А и В – амплитуды складываемых колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражения (9.9) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении выражение на и на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

(9.10)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры ого осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) . В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

y = ± (B/A) x, (9.11)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а минус – нечетным значениям m. Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью x угол . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

2) . В данном случае уравнение примет вид

(9.12)

Э то уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. Кроме того, если А = В, то эллипс (9.12) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от отношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 9.8 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной φ).