2.1. Разыгрывание дискретной случайной величины Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.

Правило: Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А_1, А_2, …, А_n полной группы, вероятности которых р_1, р₂, …, р_n известны, достаточно разыграть дискретную величину Х со следующим законом распределения:

Х 1 2 … n

P p₁ p₂ … p_n

Если в испытании величина Х приняла возможное значение x_i=i, то наступило событие А_i.

Разыгрывание непрерывной случайной величины

Известна функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений х_i (i=1,2, …).

А. Метод обратных функций. Правило 1. Для того чтобы разыграть возможное значение х_i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F(x), надо выбрать случайное число r_i, приравнять его функции распределения и решить относительно х_i полученное уравнение F(х_i) = r_i.

Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.

Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение х_i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число r_i и решить относительно х_i уравнение или уравнение , где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой

F(x) = C₁F₁(x)+C₂F₂(x)+…+C_nF_n(x),

где F_k(x) – функции распределения (k=1, 2, …, n), С_k>0, С_i+С₂+…+С_n=1, надо выбрать два независимых случайных числа r₁ и r₂ и по случайному числу r₁ разыгрывать возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):

Z 1 2 … n

p C₁ C₂ … C_n

Если окажется, что Z=k, то решают относительно х уравнение F_k(x) = r₂.

Замечание 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в виде

f(x)=C₁f₁(x)+C₂f₂(x)+…+C_nf_n(x),

где f_k(x) – плотности вероятностей, коэффициенты С_k положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z=k, то решают (по правилу 2) относительно х_i относительно или уравнение

Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х_i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

Замечание. Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв возможное значение х_i по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле: z_i=σx_i+a.

2.2. Разыгрывание двумерной случайной величины

А. Дискретная двумерная случайная величина. Разыгрывание дискретной двумерной случайной величины (X, Y) сводится к разыгрыванию ее составляющих - одномерных дискретных случайных величин X и Y. Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y). Если составляющие X и Y независимы, то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X и Y. Если составляющие зависимы, то находят закон распределения одной из них, условные законы распределения другой и по ним разыгрывают X и Y.

Б. Непрерывная двумерная случайная величина. Разыгрывание непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) сводится к разыгрыванию ее составляющих - одномерных случайных величин X и Y.

Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y). Если составляющие X и Y независимы, то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X и Y. Если составляющие зависимы, то находят закон распределения одной из них, условные законы распределения другой и по ним разыгрывают X и Y.

Расчет систем массового обслуживания с отказами методом Монте-Карло. Имитационное моделирование.

Имитационная модель (алгоритм) строится на основе исходных данных, примерный перечень которых представлен ниже.

1. Число каналов и характеристики каждого из них. Для каждого канала может быть задана: его производительность, закон распределения вероятностей продолжительности обслуживания заявки, возможно меняющийся со временем, правило вступления канала в работу в зависимости от текущего состояния СМО, как например числа работающих каналов и текущей длины очереди, правило прекращения обслуживания.

2. На входе системы может быть определено один или более случайных потоков заявок. Все они могут иметь любые законы вероятностного описания, зависимыми или независимыми между собой. Свойства потоков заявок могут меняться со временем.

3. Должна быть определена дисциплина очереди, зависящая от времени так и от состояния системы.

4. Определяется продолжительность времени моделирования (наблюдения) системы.

Имитационное моделирование основывается на имитации случайных событий, происходящих в системе и статистической обработке результатов моделирования с целью оценки качественных характеристик СМО. Для моделирования случайных событий (величин), как правило, применяются псевдослучайные датчики, вырабатывающие случайные величины с заданными характеристиками как результат работы специальных алгоритмов, являющихся частью имитационной модели.