16. Теорема 1 о разложении по базису.

1. Каждый вектор какой-либо прямой может быть разложен по базису на этой прямой

2. Каждый вектор какой-либо плоскости может быть разложен по базису на этой плоскости

3. Каждый вектор может быть разложен по произвольному базису в пространстве.

Примечание:

-Компоненты вектора определяются однозначно в каждом случае.

-Разложение вектора по базису является единственным.

17. Предложение 2 о компонентах векторов.

Равные вектораы имеют одинаковые компоненты, это следует из единственности разложения вектора по базису. В аналитической геометрии геометрические рассуждения сводятся к вычислению с участием компонентов векторов.

18. Предложение 3 о умножении вектора на число.

При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на число.

Базис - это система координат

= ( )* ( )* ( )* ,где

( ) – разложение вектора ,

19. Предложение 4 о сложении векторов.

При сложении вектора складываются их соответствующие компоненты

+ = ( ) +( )* ( )*

20. Линейная зависимость векторов.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.

Линейная комбинация векторов называется не тривиальна, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

21. Определение о линейной зависимости векторов.

Векторы называются линейнозависимые , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю:

= 0 , где – линейнозависимые

В противном случае эти вектора называются линейно-независимыми , т.е. сумма

тогда, когда .

22. Предложение 5 о линейной зависимости системы векторов.

Система векторов линейно-зависима тогда и только тогда , когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.

Доказательство:

= 0

23. Предложение 6 о коллинеарных векторах.

Любые два коллинеарных вектора линейнозависимы. Два линейнзависимых вектора коллинеарны

24. Предложение 7 о 3-х компланарных векторах.

Любые три компланарных вектора линейно-зависимы и наоборот.

На плоскости любой вектор можно разложить по двум векторам.

25. Предложение 8 о 4-х векторах.

Любые четыре вектора линейно-зависимы, любой вектор может быть разложен по трем некомпланарным векторам.

26. Определение Декартовой системы координат.

Фиксируем в пространстве произвольную точку О и рассмотрим некоторую точку М , тогда радиус-вектор точки М относительно точки О называется

Если в пространстве кроме точки О задан некоторый базис , то точки М можно сопоставить упорядоченную тройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.

Декартовой системой координат называется совокупность точки и базиса.

Точка О – начало координат , а прямые , проходящие в направлении базисных векторов, являются осями координат.

Ось

Плоскости , проходящие через координаты оси, называются плоскостям координат.