- •Ответы по линейной алгебре.
- •14. Определение базиса.
- •15. Определение компонент векторов.
- •16. Теорема 1 о разложении по базису.
- •27. Определение координат точки.
- •28. Предложение 1 о компонентах вектора.
- •29. Деление отрезка в заданном отношении.
- •96. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
- •97. Параметрические уравнения прямой.
- •228. Общие свойства решения системы линейных уравнений. (Ранг системы, базисные и свободные переменные, общее и частное решение, фундаментальная система решений).
- •229. Определители Метод Гаусса решения систем линейных уравнений путем приведения их к
- •230. Определение и основные свойства матриц
- •231. Cложение и Умножение матриц на число.
- •232Матрицы Транспонирование матриц, строки и столбцы.
- •233Матрицы Линейная комбинация строк или столбцов.- зависимая и не зависимая.
- •234. Основные свойства умножения матриц и их произведения
- •Пример:
- •235. Основные свойства алгебраических операций над матрицами.
- •236. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса - (на примере матрицы 3-го порядка. (Одновременное решение соответствующих 3-х уравнений).
- •237. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.- метод Крамера. (Получение формулы на основе разложения определителя).
- •238. Проверка вычисления обратной матрицы с помощью умножения соответствующих матриц.
236. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса - (на примере матрицы 3-го порядка. (Одновременное решение соответствующих 3-х уравнений).
Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим — j-й столбец обратной матрицы. Тогда, поскольку A∙A-1=E, то, очевидно, справедливо:
,
т.е. — матрица стобец с единицей в j-й строке.
Решим эти n систем методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку в их левой части одна и та же матрица. Для этого запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:
Очевидно, что матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица.
237. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.- метод Крамера. (Получение формулы на основе разложения определителя).
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных:
Обозначим:
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Как уже говорилось выше, рассмотренная система эквивалентна матричному уравнению A·X=B.
Справедлива следующая теорема, которую называют правилом Крамера.
Теорема. Если определитель матрицы системы n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам: , где Δ = det A ≠ 0 — определитель матрицы системы, а Δi — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом правых частей:
238. Проверка вычисления обратной матрицы с помощью умножения соответствующих матриц.
Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицуA. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT:
Для операции транспонирования справедливо:
(αA + βB)T = α A T + βB T,
(AB)T = B TA T .
Существуют матрицы, для которых операции умножения, возведения в степень, обращения и транспонирования имеют дополнительные свойства.
Квадратная матрица A, для которой AT = A называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.
Квадратная матрица U, для которой U -1 = U T называется ортогональной матрицей.
Иногда операцию транспонирования матрицы относят к элементарным преобразованиям.
239. Определение и основные понятия.
Арифметическим вектором называятся упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.
240. Собственные векторы и значения.. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен.
241. Собственные векторы и значения.. Отыскание собственных значений и собственных векторов.
242. Собственные векторы и значения.. Теорема 1(Гамильтона-Кэли) о характеристическом многочлене.(На примере)
243. Свойства собственных значений. Сумма собственных значений.
244. Свойства собственных значений Произведение собственных значений.
245 . Свойства собственных значений Количество собственных значений.
246. Свойства собственных значений Собственное значение обратной матрицы.
247. Свойства собственных значений Собственное значение степени матрицы.
248. Свойства собственных значений. Собственные значения транспонированной матрицы AT.
249. Свойства собственных значений. Теорема 2. Собственные значения диагональной матрицы.
250. Свойства собственных значений. Теорема 3. Собственные значения матрицы T-1АT
251. Свойства собственных значений Теорема 4.О приведении квадратной матрицы к диагональному виду.
252. Свойства собственных векторов. О независимости собственных векторов.
253. Свойства собственных векторов. О базисе из собственных векторов.
254. Свойства собственных векторов. О линейной комбинации собственных векторов.
255. Квадратичные формы. Определение квадратичной формы.
256. Квадратичные формы. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
257. Квадратичные формы. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.