1.2. Построение эмпирической кривой обеспеченности

При расчете координат эмпирической кривой обеспеченности применяют способ, при котором число членов ряда не превышает нескольких десятков. Он заключается в следующем. Члены хронологического ряда наблюдений за п лет располагают в порядке убывания, где m изменяется от 1 до п (табл.1).

Для каждого члена Q_i такого ряда вычисляют эмпирическую ежегодную обеспеченность Р_% по формуле:

_, (9)

где m- порядковый номер члена ряда; n – число членов ряда

Нанося на график точки с координатами (P_%, Q_i) и усредняя их на глаз, получают кривую обеспеченности рассматриваемой гидрологической характеристики (рис. 1).

Кривые обеспеченности строятся на специальной клетчатке, которая растягивает края полученной кривой.

Рис. 1 Аналитическая (1) и эмпирическая (2) кривая обеспеченности

1.3. Построение аналитических кривых обеспеченности и методы определения их параметров

Аналитические функции распределения могут быть заданы в дифференциальной и интегральной форме.

В гидрологической практике в основном используют интегральную форму аналитической функции распределения, которая в гидрологии называется функцией распределения ежегодных вероятностей превышения, а график функции — аналитической кривой обеспеченности.

В настоящее время расчетные гидрологические характеристики при однородности ряда гидрометрических наблюдений рекомендуется определять с помощью двух типов аналитических кривых: трехпараметрического гамма-распределения и биномиального распределения.

В качестве стандартных параметров построения аналитической кривой обеспеченности трехпараметрического гамма-распределения в практике используют норму стока Q_o; коэффициент вариации С_v и коэффициент ассиметрии C_s.

В качестве параметров построения биноминальной аналитической кривой обеспеченности используют норму стока Q_o и коэффициент вариации С_v.

1.3.1. Расчет параметров аналитической кривой обеспеченности трехпараметрического гамма – распределения

Для расчетов ординат аналитической кривой обеспеченности существуют три метода: метод моментов, метод наибольшего правдоподобия и графоаналитический метод. Рассмотрим каждый из них.

• Метод моментов заключается в том, что искомые параметры распределения выражаются через статистические моменты ряда наблюдений. Когда члены ряда располагаются симметрично относительно среднего значения, разные по величине положительные и отрицательные отклонения от среднего повторяются одинаково часто. Если положительные отклонения (многоводные годы) повторяются реже, чем отрицательные, то ассиметрия будет положительной. В противном случае наблюдается отрицательная ассиметрия.

Коэффициент вариации определяется по формулам:

при n > 30 лет; (10)

при n < 30 лет. (10а)

Коэффициент ассиметрии:

при n > 30 лет; (11)

при n < 30 лет. (11а)

Порядок выполнения расчета:

Вспомогательные расчеты для определения C_v и C_s приведены в табл.1.

Для р.Алей – с.Староалейское:

= _,

= _.

Среднеквадратическая ошибка определения С_v находится по формуле:

_, (12) .

Среднеквадратическая ошибка определения С_s находится по формуле:

, (13)

При расчете коэффициента вариации C_v и коэффициента ассиметрии C_s допустимое значение среднеквадратической ошибки составляет 10-15 %.

• Метод наибольшего правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки для неизвестного параметра принимают такое его значение, при котором функция правдоподобия (произведение вероятностей наблюдаемых величин) достигает наибольшего возможного значения.

Согласно данного метода, коэффициент вариации С_v и соотношение коэффициента ассиметрии к коэффициенту вариации C_s/С_v определяется по номограммам (Приложение 2) в зависимости от статистик λ₂ , λ₃. Номограммы разработаны применительно к трехпараметрическому гамма-распределению.

Порядок выполнения расчета:

а) Вспомогательные расчеты для определения статистик λ₂ и λ₃ приведены в табл.1.

= , (14)

. (14а)

По номограммам находим : C_v = 0,3; C_s = 3,5C_v = 1,08.

б) Определяем среднеквадратическую ошибку нахождения С_v и C_s;

,

в) Сравниваются расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения в таблице 2.

Таблица 2

Расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения

метод определения	εСv	ε Cs
- моментов	13,9	18,5
-наибольшего правдоподобия	13,9	15,3

г) Окончательно для расчетов ординат аналитической кривой принимается тот вариант, где ошибки имеют наименьшее значение. В нашем случае это метод наибольшего правдоподобия: C_v = 0,31; C_s = 1,08; Q_o = 19,2 м³/с.

• Графоаналитический метод применяется при использовании биноминальной кривой распределения и заключается в том, что параметры аналитической кривой обеспеченности определяются в зависимости от ординат сглаженной «на глаз» эмпирической кривой обеспеченности, соответствующих заданным вероятностям превышения Р₁ =5%, Р₂ = 50% и Р₃ = 95%.

Порядок выполнения расчета:

а) По эмпирической кривой (рис. 1) выбираются значения: Q_5%, = 32,4 м³/с; Q_50% = 18,0 м³/с; Q_95% = 10,0 м³/с.

б) По этим значениям вычисляют коэффициент скошенности биноминальной кривой обеспеченности:

= . (15)

в) По таблице (Приложение 3) по значению коэффициента скошенности (S) определяем С_s , Ф_5%, Ф_50%, Ф_95% , Ф – нормированное отклонение ординаты кривой обеспеченности:

С_s = 1,30; Ф_5% = 1,92; Ф_50% = -0,21; Ф_95% = -1,2.

г) Коэффициент вариации Cv находится по формуле:

C_v = σ_Q/Q_ср , (16)

где σ_Q - среднеквадратичное отклонение.

δ_Q = . (17)

Q_ср – среднемноголетний расход воды, определенный графоаналитическим способом:

Q_ср = Q_50% - δ_Q Ф_50% = 18,0 – 7,18 (-0,21) = 19,51 м³/с , (18)

находим С_v = δ_Q /Q_ср = 7,18/ 19,515 = 0,37.

д) Среднеквадратическая ошибка нахождения С_v определяется по формуле (12):

, .