Задание 14

Кроме того, необходимо, чтобы в некоторой точке р, являющейся концом цикла подъема, перемещение рабочего органа было равно заданному, т.е. a(_p) = 1.

Рис.3.20. График закона типа выстой-подъем-опускание-выстой

Рассмотрим метод синтеза закона движения, основанный на аппроксимации коэффициента ускорения кубическим сплайном дефекта 1 [1]. Коэффициенты скорости и пути получаются в виде сплайнов четвертой и пятой степеней.

Алгоритм синтеза законов движения типа выстой-подъем-выстой :

1. Задается график коэффициента ускорения c() (кривая 1, рис.3.19).

2. На графике выбираются узлы интерполяции (одним из узлов должна быть точка _m раздела положительной и отрицательной областей c(_m)=0), и строится сплайн S():

,   [_i ,_i+1], i=0,…, N-1. (3.5)

Однако сплайн (3.5) нельзя принять в качестве коэффициента ускорения, т.к. не будут выполняться условия (3.1), (3.2).

Условие (3.2) означает требование равенства площадей положительных и отрицательных участков графика коэффициента ускорений. Это условие можно выполнить, если, например, изменить масштаб положительного участка графика сплайна, т.е. строим новый сплайн:

,   [_i ,_i+1], i=0,…, N-1, (3.6)

где

В результате полученный график S₁() на отрезке [0, _m] будет иметь вид кривой 2 (рис.3.19), а на отрезке [_m, 1] будет совпадать с графиком S().

3. Интегрируя сплайн S₁(), получаем сплайн 4-й степени, удовлетворяющий условиям (3.2) и (3.3):

,   [_i ,_i+1], i=0,…, N-1, (3.7)

где u₀ = 0 и u₁ = S₂(_i - 0), i = 1,…, N-1.

Проинтегрировав (3.7), получим сплайн 5-й степени

,

  [_i ,_i+1], i=0,…, N-1, (3.8)

где d₀ = 0, и d_i = S₂(_i - 0), i = 1,…, N-1.

Сплайн (3.8) нельзя принять за коэффициент пути, т.к. не выполняется условие (3.1). В качестве коэффициента пути принимаем:

a() = ₁S₁(), (3.9)

где ₁ = 1/S₃(1) (3.10)

По формулам строится сплайн S₃() и определяется коэффициент _1.

3. Коэффициенты синтезированного закона движения выражаются по формулам

b()=₁ S₂(), c()=₁ S₁().

Алгоритм синтеза законов движения типа выстой-подъем-опускание-выстой:

1. Задается график коэффициента ускорения c() (кривая 1, рис. 3.20).

2. Выбираются узлы интерполяции, в число которых должны входить точки _m и _k раздела участков положительных и отрицательных ускорений (c(_m)=0 и c(_k)=0 ) и точка _p, разделяющая периоды подъема и опускания рабочего органа. По N-1 узлам строится сплайн S() по формуле (3.5).

3. Сплайн S() с целью удовлетворения условию (3.2) преобразуется в сплайн S₁() по формуле

,  [_i, _i+1], i=0,…, N-1, (3.11)

где ;

Сплайн (3.11) имеет график типа кривой 2 на рис. 3.20.

4. По формулам (3.7) и (3.8) строятся сплайны S₂() и S₃(). Удовлетворение условия (3.4) достигается за счет замены переменной и введением ряда коэффициентов. Для этого из решения уравнения

S₃(_p) _p^*2(1 - _p)² = [S₃(_p) – S₃(1)](1 - _p^*)² _p²

определяется _р^* и вводятся новые сплайны

S₁^*() = S₁(^*), (3.12)

(3.13)

(3.14)

где ₂ = _р/_р^*,

5. Искомые характеристики закона движения выражаются через сплайны (3.12)-(3.14) и коэффициент ₁, позволяющий удовлетворить условию a(_p) = 1:

a()=₁ S₃^*(), b()=₁ S₂^*(), c()=₁ S₁^*(), где ₁=1/ S^*(_р^*).

Описанная выше методика реализована в программе sva.exe, которая разработана на кафедре АиВТ Новосибирского технологического института Московского государственного университета дизайна и технологии (филиале).

Программа sva.exe предназначена для аппроксимации таблицы данных сплайнами 3-й степени и просмотра результатов в виде графиков ускорений, скоростей, перемещений в зависимости от угла поворота вала.

Программа profil.exe предназначена для построения профиля кулачкового механизма с дисковыми кулачками, а также для получения различных характеристик в виде графиков (углы давления, контактные напряжения, радиусы кривизны, радиус-векторы, угол разворота профиля).

81