Приложения

1. Понятие о полярной системе координат

В озьмем на плоскости (рис. 1.) произвольную точку О (полюс) и проведем луч Оp (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой либо угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:

1. положительным числом , выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус).

2. числом , выражающим величину угла pОМ (полярный угол).

Числа  и  называются полярными координатами точки М.

Замечание. Если точка совпадает с полюсом, то значение полярного радиуса  равно нулю, а полярный угол неопределен, т.е. ему можно приписать любое значение.

Для того, чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат было взаимно однозначным, обычно считают, что  и  изменяются в следующих границах: (иногда ).

Такое значение полярного угла называется главным.

Пример 1. Построить в полярной системе координат точки , , , .

Р ешение. Для построения точки проводим луч под углом к полярной оси О (рис. 2.) и отмечаем на этом луче точку А, находящуюся на расстоянии двух масштабных единиц от точки .

Для построения точки проводим луч образующий с осью Ох угол  и на этом луче на расстоянии одной масштабной единицы от точки О отмечаем точку В.

Точки С и D стоим аналогично: проводим лучи и , соответственно под углами 0 и к полярной оси, затем на луче отмечаем точку С на расстоянии трёх масштабных единиц от полюса О, а на луче точку D на расстоянии двух масштабных единиц от О.

Е сли полюс О (рис.1.17.) полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы и полярная ось Ох совпадает с положительно направленной осью абсцисс, то полярные координаты произвольной точки М –  и  связаны с ее прямоугольными координатами – х и у соотношениями:

(1)

Отметим, что

, (2)

т.к. .

Обратно, из (1) и (2) получим:

, (3)

. (4)

Для того, чтобы найти величину , нужно, используя значения х и у, выделить четверть, в которой находится точка М и, воспользоваться соотношением

. (5)

Пример 2. Прямоугольные координаты точки М равны , . Найти ее полярные координаты.

Решение. По формуле (3) , по формуле (5) . Значит либо , либо , где . Но так как точка М лежит в четвертой четверти, то лишь первое значение правильно. Главное значение  есть .

В полярных координатах линия задается уравнением , связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, это уравнение разрешают относительно , и тогда полярное уравнение принимает вид .

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в декартово уравнение линии вместо х и у их выражения из формул (1)

Пример 3. Найти полярное уравнение окружности .

Решение. Подставим х и у по формулам (1)

.

Так как , то искомое уравнение

(рис. 4.).

Замечание. Можно было сразу по формуле (2) записать .

П ример 9. Найти полярное уравнение окружности

и построить ее в полярных координатах.

Решение. . По формулам (1) и (2) перепишем данное уравнение в виде: .

Это уравнение имеет два решения.

Первое: , или ; – описывает полярный полюс.

Второе: , или - искомое полярное уравнение окружности.

Построим линию , т.к. , то . Отсюда , т.е. линия расположена в I и IV координатных углах. И т.к. ,то линия симметрична относительно полярной оси Ох.

В 1-ом координатном углу линию построим по точкам, протабулировав функцию .

	0
Точки	А	В	С	D	О

Получилась верхняя половина окружности радиуса а (рис. 5.).

В IV координатном углу строим линию симметрично относительно оси Ох (нижняя половина окружности).

Пример 4. Найти полярное уравнение линии и построить ее в полярных координатах.

Решение. Подставим данные полярные значения х и у: и и учитывая, что (2), получим:

или .

П остроим эту линию, т.к. левая часть уравнения неотрицательна , то угол может изменяться только в тех приделах, где , т.е. и . Поделив каждую часть неравенства на 2, получаем: и .

Итак, данная линия расположена только в I и III координатных углах, причём значения в III четверти будут те же, что и в I четверти. Поэтому линия расположена симметрично относительно начала координат. Составляем таблицу значений для , полученные точки отмечаем на графике, а затем достраиваем симметрично относительно начала координат в 3 четверти, т.е. для (см. рис. 6.).

				Точки
0	0	0	0	О(0, 0)
		0,5	2,12
		0,87	2,79
		1	3
		0,87	2,79
		0,5	2,12
		0	0