2.4.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Прежде, чем приступить к изучению данной темы, обратитесь к Приложению. Повторите понятие о полярной системе координат и построение линий в ней.
Формула преобразования двойного интеграла от декартовых координат х и у к полярным и , связанным с декартовыми соотношениями
и
(1.9)
имеет вид:
, (1.10)
где и - полярные координаты точек области D.
При этом уравнения линий, ограничивающих область интегрирования D, также записываются в полярной системе координат посредством формул (1.9).
Отметим, что
, (1.11)
т.к.
.
Текущая точка Р
области D имеет
координаты
,
а площадь элементарной ячейки
.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению декартовых (повторных) интегралов по и по по формулам (1.12 – 1.14), в которых в вначале вычисляется внутренний интеграл по переменной при фиксированном, но произвольном .
Различают следующие виды области D.
Область D (рис. 1.21.) ограничена лучами образующими с полярной осью углы
и
,
и кривыми
и
то:
.
(1.12)
Ф
ормула
(1.12) справедлива, если отрезки лучей
и
стягиваются в точки (рис. 1.22.).
О
бласть
D охватывает начало
координат рис. 1.23., то
.
(1.13)
Область интегрирования D не удовлетворяет условиям, сформулированным в пп. 1 и 2. В этом случае нужно разбить на части, обладающими отличительными свойствами.
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле:
(1.14)
П
ример
10. Вычислить
,
где область D - круговой
сектор, ограниченный линиями:
,
,
.
Решение.
Построим область интегрирования (рис.
1.24.). Это область D
второго вида:
,
,
.
Согласно (1.13):
Вычисление двойного
интеграла началось с внутреннего
определенного интеграла по ,
это
,
а затем был вычислен внешний интеграл
по
.
При вычислении внутреннего интеграла
множитель
вынесен за знак внешнего интеграла.
Пример 11. Вычислить в полярных координатах
г
де
D – область, ограниченная
линиями:
,
,
,
.
Решение. Область интегрирования D – часть кругового кольца, отсеченная двумя лучами, исходящими из полюса (см. рис.1.25.).
1. Запишем уравнение линий, ограничивающих область, в полярной системе координат с помощью формул (1.11).
Уравнение СВ:
или
.
Уравнение АD:
или
.
Прямая СD:
– биссектриса, поэтому
.
Прямая АВ:
,
,
.
Итак, область D
принадлежит к 1-му виду:
;
;
;
.
2. Запишем заданный двойной интеграл в полярной системе координат по формуле (1.12), делая сразу замену переменных в подынтегральной функции по формуле (1.11).
Получаем
Отметим, что вначале
вычислен внутренний интеграл, определенный
по - это
Результат вычисления – число 136 вынесено
за внешний интеграл, после чего вычислен
внешний определенный интеграл по
переменной .
Пример 12.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
прямыми
,
и окружностью
.
Решение. Введем полярные координаты. Сделаем эскиз области интегрирования (рис. 1.26.). Перепишем уравнение линий в полярной системе координат с помощью формул (1.9 и 1.11).
У
равнение
окружности
в виде
(см. пример 11).
Прямых:
как
,
как
.
Получили область
D второго вида как на
рис.1.23:
,
,
.
Площадь фигуры вычислим по формуле (1.14), а двойной интеграл по (1.13):
При вычислении внешнего интеграла применена формула:
.
Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
.
Р
ешение.
Сделаем эскиз области интегрирования
(рис.1.27.). Левая часть уравнения
,
тогда
,
т.е. х и у имеют одинаковые знаки.
Следовательно, кривая расположена в 1
и 3 координатных углах. При замене х
и у на
и
уравнение не меняется, значит, кривая
симметрична относительно начала
координат. С помощью формул (1.9) и (1.11)
перепишем уравнение линии в полярной
системе координат:
,
сократим на
,
получим окончательно
С возрастанием
от 0 до
точка с координатами
опишет расположенную в 1 координатном
углу ветвь данной кривой.
Искомая площадь равна удвоенной площади области D, которая является областью 2-го вида (рис.1.27).
