Графічна робота № 10

(Формат А3. Завдання наведені в табл. 2 та 3 завдань для виконання РГР).

1. Побудувати розгортки заданих поверхонь.

2. Нанести на розгортку лінію перетину поверхні площиною.

Розв´язання задач, що стосуються графічної роботи № 10

Розгортку піраміди (див. рис. 13) будуємо способом тріангуляції, вдаючись до різних способів визначення натуральних величин її ребер. Скоротити кількість графічних операцій можна обертанням навколо проекціюючої осі, що проходить через вершину S(S₁; S₂). Тоді ребра розміщуються паралельно одній з площин проекцій (на рис. 13 – паралельно П₂). Визначаємо точки ₁, _{1 1} (S_{1 1}=S₁A₁, S_{1 1}=S₁B₁, S_{1 1}=S₁C₁), а за спорідненою відповідністю точки – ₂, _{2 2}. Проекції S_{2 2}, S_{2 2} S_{2 2} – натуральні величини ребер. Коли натуральні величини ребер бічної поверхні та основи визначено, будуємо повну розгортку піраміди (див. задачу 1д теми 12 робочого зошита).

Для визначення положення точок D, E та F на натуральних величинах проводимо через точки D₂, E₂ та F₂ горизонтальні лінії до перетину з S_{2 2}, S_{2 2} S_{2 2} (див. точки ₂, _{2 2}). Ці точки перерізу радіусами S_{2 2}, S_{2 2} S_{2 2} з точки S₀ як із центру переносимо на відповідні лінії S₀A₀ , S₀B₀ , S₀C₀ та S₀A₀ на розгортці. Сполучаємо отримані точки ламаними лініями і отримуємо на розгортці лінію D₀F₀E₀D₀ перетину поверхні площиною.

Розгортку похилого еліптичного конуса починаємо з вписування в конус n–гранної піраміди. Спочатку його основу поділяємо на 8-12 рівних частин (див. задачу 5 теми 12 робочого зошита), а далі виконуємо попередні алгоритми. Будуємо точки основи і точки перетину площини з конусом на розгортці, з’єднуємо їх плавними кривими і одержуємо розгортку бічної поверхні конуса з лінією перерізу.

Розгортку призми будуємо способом розкочування, для чого визначаємо натуральні величини ребер одним із способів перетворення проекцій (використаємо спосіб заміни площин проекцій). Починаємо з контурного ребра (див. задачу 3 теми 12 робочого зошита). Вершини основ, обертаючись навколо ребра, переміщуватимуться по лініях, перпендикулярних до нього. Кожна грань – паралелограм, його менші сторони – відстань між точками основи.

Для побудови розгортки похилого еліптичного циліндра (рис. 14) вписуємо у нього n–гранну призму. Спочатку його основу поділяємо на 8-12 рівних частин (див. задачу 6 теми 12 робочого зошита). Далі виконуємо графічні операції, що й при побудові розгортки призми. Точки розгорток основи з’єднуємо плавною кривою лінією.

Графічна робота № 11

(Формат А4. Завдання наведені в табл. 5 завдань для виконання РГР).

Побудувати лінію взаємного перетину заданих поверхонь.

Розв´язання задач, що стосуються графічної роботи № 11

Графічна роботи № 11 – комплексна і ґрунтується на відомих положеннях: перетин прямої і площини, перетин прямої лінії і криволінійної поверхні, перетин двох площин (граней) тощо.

1. Лінія, загальна для двох поверхонь, що перетинаються, називається лінією перетину (переходу).

Лінією взаємного перетину гранних поверхонь є замкнута просторова лінія, яка в залежності від їх взаємного розташування може розпадатися на дві замкнуті ламані.

Лінією взаємного перетину криволінійної та гранної поверхонь в загальному випадку є замкнута крива з точками зламу. Ці точки перетину ребер гранної поверхні з криволінійною поверхнею називаються опорними.

Дві криволінійні поверхні можуть перетинатися по: одній кривій; двох окремих кривих лініях; двох кривих, які дотикаються в точці; двох кривих, які перетинаються в двох точках. Поверхні можуть і дотикатися одна до одної в точці, або по прямій.

2. Щоб знайти точки лінії взаємного перетину поверхонь використовують способи:

а) допоміжних січних площин (проекціюючих, обертаючих навколо лінії загального положення та паралельними плошинами загального положення);

б) перетворення проекцій;

в) допоміжного проекціювання.

3. Якщо одна з поверхонь (циліндр або призма) є проекціюючою, то одна проекція лінії взаємного перетину збігається з проекцією цієї поверхні, а друга проекція визначається за відповідністю.

Зразок побудови ліній взаємного перетину горизонтально-проекціюючої призми і піраміди показаний на рис. 16. Позначимо горизонтальні проекції точок перетину ребра SC (1₁ та 3₁) і ребра SB (2₁ та 4₁). Фронтальні проекції цих точок (1₂–4₂) визначаємо за допомогою лінії зв’язку на відповідних проекціях ребер SC та SB.

Для визначення точок 5 і 6 та 7 і 8 перетину відповідних ребер КК' та NN' призми з гранями піраміди, проводимо допоміжні горизонтально-проекціюючі площини Δ і Σ через вершину піраміди S та горизонтальні проекції ребер призми КК' та NN'. Ці площини перетинають горизонтальні проекції ребер АВ і АС основи піраміди у відповідних точках 15-16 та 17-18. За допомогою ліній зв’язку проекцією вершини піраміди (S₂). Взаємний перетин проекцій ліній S₂15₂ – S₂17₂ з відповідними ребрами призми визначає фронтальні проекції точок 5₂ – 8₂.

Всі отримані точки сполучаємо ламаною лінією з врахуванням їх належності певним граням призми та піраміди, визначаємо видимість.

4. Способом перетворення проекцій часто доцільно одну з поверхонь (циліндр або призму) зробити проекціюючою.

Рис. 16

5. При взаємному перетині призм, пірамід, циліндрів і конусів загального положення прямі лінії проекціюються в точки. Косокутним допоміжним проекціюванням можна призму або циліндр зпроекціювати у їхні основи.

6. Спосіб допоміжних січних площин полягає в тому, що дві задані поверхні перетинаються третьою поверхнею (площиною або кривою поверхнею). Ця, третя поверхня в перетині з двома заданими утворює дві лінії, взаємний перетин яких дасть точки, що належать шуканій лінії взаємного перетину (див. задачі 3-4 теми 13-14 робочого зошита).

Цей спосіб стосується варіантів 1–9, 11–21, 23–25 та 27–30.

Рис. 17

7. Спосіб січних концентричних сфер (це стосується 10-го варіанта) застосовується, якщо осі двох поверхонь обертання перетинаються і паралельні одній з площин проекцій. Цей спосіб ґрунтується на тому, що поверхня обертання перетинається зі сферою по колах, якщо вісь обертання поверхні проходить через центр сфери. Якщо вісь поверхні обертання паралельна площині проекцій, то кола перетину зі сферою зпроекціюються на цю площину проекцій прямими лініями.

Спосіб січних ексцентричних сфер (це стосується варіантів 22- та 26-го).

Загалом, в разі перетину двох поверхонь 2-го порядку утворюється просторова крива 4-го порядку (рис. 18).

Якщо дві поверхні 2-го порядку описані навколо третьої поверхні 2-го порядку (наприклад, сфери), то лінія перетину розпадається на дві плоскі криві 2-го порядку.

Рис. 18

~ 36 ~