2 Фундаментальная теорема

Если область допустимых решений задачи линейного программирования непустая, выпуклая ограниченная, то задача всегда имеет оптимальное решение, совпадающее хотя бы с одной из вершин области допустимых решений или с одним из опорных решений системы ограничений задачи.

3 Применение фундаментальной теоремы для неограниченной области допустимых решений

Попробуем применить фундаментальную теорему для неограниченной области допустимых решений.

Область допустимых решений – неограниченная выпуклая с конечным числом вершин А,В,С.

а) Ограничим нашу область допустимых решений, построив дополнительное ограничение Х₁ + Х₂ ≤ М, где М – любое положительное число. Полученная задача с ограниченной областью допустимых решений на основании фундаментальной теоремы имеет хотя бы одно оптимальное решение. Пусть это точка В.

б) Ограничим нашу область допустимых решений, построив дополнительное ограничение Х₁ + Х₂ ≤ 2М. Полученная новая задача с ограниченной областью допустимых решений на основании фундаментальной теоремы имеет хотя бы одно оптимальное решение – точку В. И так далее, дополнительных ограничений можно построить «k».

Таким образом, все ограниченные нами задачи имеют оптимальное решение, причем оно достигается в одной и той же точке – точке В.

2 Случай

а) Ограничим нашу область допустимых решений, построив дополнительное ограничение Х₁ + Х₂ ≤ М, где М – любое положительное число. Полученная задача с ограниченной областью допустимых решений на основании фундаментальной теоремы имеет оптимальное решение.

П усть это отрезок [Х₁^*, Х₂^*].Область допустимых решений – неограниченная выпуклая с конечным числом вершин А, В, С, Х₁^*, Х₂^*.

б) Ограничим нашу область допустимых решений, построив дополнительное ограничение Х₁ + Х₂ ≤ 2 М. Полученная новая задача с ограниченной областью допустимых решений А, В, С, Х₃^*, Х₄^* на основании фундаментальной теоремы имеет оптимальное решение - отрезок [Х₃^*, Х₄^*]. И так далее, дополнительных ограничений можно построить «k».

Таким образом, все ограниченные нами задачи имеют оптимальное решение, причем оно достигается на разных отрезках, первая на отрезке [Х₁^*, Х₂^*], вторая на отрезке [Х₃^*, Х₄^*] и т.д.

Вывод.

1. Если оптимальное решение при изменении дополнительного ограничения не изменяется, то оно сохраняется и при k = М → ∞.

В этом случае целевая функция ограниченной нами области допустимых решений окажется постоянной и конечной.

2. Если оптимальное решение при изменении дополнительного ограничения изменяется, то целевая функция оказывается неограниченной, и оптимальное решение возможно получить только за счет построения дополнительного ограничения.

4 Обобщенная фундаментальная теорема линейного программирования

Если оптимальное решение задачи линейного программирования существует, то оно совпадает хотя бы с одним опорным решением системы ограничений или с одной из вершин области допустимых решений.

Фундаментальная теорема позволяет заменить поиск оптимального решения среди бесконечного числа допустимых решений на поиск оптимального решения среди конечного числа опорных решений, так как опорных решений не больше числа сочетаний из числа всех переменных совместной системы по числу линейно независимых ограничений, то есть оценка числа опорных решений записывается в виде . Для перебора оптимальных решений необходимо применять преобразования, позволяющие переходить от одного опорного решения к другому, высчитывая и запоминая значения целевой функции. Перебрав все опорные решения и сравнив все значения целевой функции Z, выбираем среди них оптимальное. Опорное решение, соответствующее оптимальному значению целевой функции, на основе фундаментальной теоремы является оптимальным решением задачи.

Преобразования, позволяющие переходить от одного опорного решение к другому, называются симплексными преобразованиями однократного замещения.

Симплексные преобразования однократного замещения применяются к задачам, записанным в канонической форме, приведенным к единичному базису с неотрицательными свободными членами. Выражение целевой функции преобразовывается, все члены, кроме свободного члена, переносятся в левую часть выражения целевой функции.

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … + а_1m х_m + х_m+1 = а₁₀

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … + а_2m х_m + х_m+2 = а₂₀

_{… … … … …}

а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + … + а_mm х_m + х_m+m = а_m0

х_j  0; j = 1,2,…,n (n = m + m)

Z - c₁ х₁ - c₂ х₂ - … - c_m х_m +0 х_m+1 - … + 0 х_m+m = c₀

Алгоритм симплексных преобразований однократного замещения

1. Заполняется исходная таблица с выделенным опорным решением, то есть с единичной подматрицей и неотрицательными свободными членами, и преобразованной целевой функции.

Исходная таблица для симплексных преобразований

пер.баз	Z	X1	X2	…	Xj*	…	Xm	Xm+1	Xm+2	…	Xi	…	Xn	ai0	К∑
хm+1	0	a11	a12	…	a1j*	…	a1m	1	0	…	0	…	0	a10	∑1
хm+2	0	a21	a22	…	a2j*	…	a2m	0	1	…	0	…	0	a20	∑2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
хi*	0	аi*1	аi*2	…	аi*j*	…	аi*m	0	0	…	1	…	0	аi*0	∑i*
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
хn	0	am1	am2	…	amj*	…	amm	0	0	…	0	…	1	am0	∑m
Z	1	-c1	-c2	…	-cj*	…	-cm	0	0	…	0	…	0	c0	∑

2. Составляются все возможные сочетания опорных решений.

3. Один из столбцов свободных переменных выбирается за разрешающий, обозначается j^*.

4. Вычисляются симплексные отношения, то есть неотрицательные отношения свободных членов к строго положительным элементам разрешающего столбца.

5. По минимальному симплексному отношению выбирается разрешающая строка, обозначается i^*.

6. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент, обозначается . Разрешающий столбец определяет переменную, вводимую в базис, а разрешающая строка определяет переменную, выводимую из базиса.

Проверяем: получается ли у нас новое опорное решение. Если получается, то переходим к пункту 7, если нет, то переходим к пункту 3.

7. Выполняем пересчет таблицы и заполняем новую таблицу:

1. разрешающую строку делим на разрешающий элемент, заменяем в этой строке базисную переменную;

2. все элементы разрешающего столбца – нули, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего. Этот элемент равен единице;

3. все остальные элементы таблицы преобразуются по правилу прямоугольника, то есть по формуле:

Примечание. Если возникает неопределенность при выборе разрешающей строки, то есть минимальные симплексные отношения равны, то условимся за разрешающую брать строку с меньшим номером.