Соответствие решений канонической, исходной и однородной форм задач линейного программирования

Допустимому решению задач в исходной форме Хи ⁰(х₁⁰ , х₂⁰ ,...,х_n⁰ ) соответствует решение задачи в канонической форме:

Х к ⁰(х₁⁰ , х₂⁰ ,...,х_n⁰ , х_n+1⁰ ,…, х_n+m-l⁰),

где n - число основных переменных, m - число ограничений, l - число ограничений равенств. Дополнительные переменные х_n+1⁰ , …, х_n+m-l⁰ вычисляются как разность между правой и левой частью соответствующего неравенства типа меньше либо равно.

Допустимому решению в канонической форме:

Х к ⁰(х₁⁰ , х₂⁰ ,...,х_n⁰ , х_n+1⁰ , х_n+m-l⁰) соответствует решение задачи в исходной форме Хи ⁰(х₁⁰ , х₂⁰ ,...,х_n⁰ ), т.е. соответствующее решение получается отбрасыванием дополнительных переменных.

Аналогичное соответствие получается для оптимальных решений исходной и канонической форм.

Так как однородная форма является исходной формой с ограничениями типа меньше или равно, то правило соответствия однородной и канонической форм легко выводится из правила соответствия исходной и канонической форм.

Алгоритм перехода от исходной формы к канонической форме

Чтобы от исходной формы перейти к канонической форме необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Проверить, все ли переменные неотрицательные:

а) если в исходной форме есть произвольные переменные x _j , то их необходимо заменить разностью двух неотрицательных переменных во всех ограничениях и целевой функции:

x _j = x _j '- x _j '' _, где x _j ' 0, x _j '' 0

Все переменные становятся неотрицательными. Переход к пункту 2.

б) если в исходной форме все переменные неотрицательные

(x _j 0,  j = 1  n ), то переход от исходной формы к канонической форме начать с пункта 2.

2. Ограничения равенства с неотрицательными переменными оставить без изменений.

3. В левую часть каждого ограничения неравенства ввести одну новую неотрицательную дополнительную переменную х _n+i , где n - число основных переменных, i = 1, 2, 3, ...:

а) в ограничения типа меньше или равно дополнительные переменные ввести с коэффициентом "+1";

б) в ограничения типа больше или равно дополнительные переменные ввести с коэффициентом "-1".

Ограничения неравенства заменить на равенства.

4. В целевую функцию дополнительные переменные ввести с нулевыми коэффициентами (+0).

Примечание: дополнительные переменные называют также выравнивающими или балансовыми переменными.

Пример

Перейти от исходной формы записи задачи к канонической:

max Z = 6,2∙X₁ - 3,2∙X₂ + 4,5∙X₃

На переменную X₂ не наложено условие неотрицательности, а в канонической форме все переменные должны быть неотрицательными,

Поэтому X₂ = X' ₂- X''₂, где X'₂ ≥ 0, X''₂ ≥ 0.

Получаем:

max Z = 6,2∙X₁ - 3,2∙(X’₂ – X”₂)+ 4,5∙X₃

Теперь вводим неотрицательные дополнительные переменные в (1) и (3) ограничения, так как они неравенства. Смотрим, сколько всего основных переменных в системе? n = 3. Следовательно, дополнительной переменной в (1) ограничении будет переменная X_n+1 = X₃₊₁ = X₄, а в (3) ограничении будет переменная X_n+2 = X₃₊₂ = X₅.

Получим систему:

max Z = 6,2∙X₁ - 3,2∙X’₂ + 3,2∙X”₂ + 4,5∙X₃ + 0∙X₄ + 0∙X₅

Получили каноническую форму записи задачи, так как все ограничения равенства и все переменные неотрицательные.

Экономический смысл дополнительных переменных

Дополнительные переменные, введенные в ограничения неравенства типа меньше либо равно (≤), равны разности между правой и левой частью ограничения неравенства и означают недоиспользование ресурсов (недовыполнение объема ограничений до верхней границы).

Дополнительные переменные, введенные в ограничения неравенства типа больше либо равно (≥), равны разности между левой и правой частью неравенств и означают количество продукции или ресурса сверх минимальной границы (перевыполнение объема ограничений сверх нижней границы).

Запись исходной и канонической форм экономической задачи приведена в образце- примере выполнения работы.

Пример выполнения работы

Пусть требуется определить оптимальное сочетание посевов трех культур - пшеницы, ячменя и картофеля. Имеются следующие производственные ресурсы: посевная площадь - 700 га, труда - 33600 человеко-часов и денежных средств на сумму 1000000 денежных единиц. Причем в связи с потребностью в зерне посевная площадь под зерновыми культурами должна быть не менее 350 га.

Затраты труда, средств на 1га и выход продукции с 1 га культур

Показатель	Культура
	Пшеница	Ячмень	Картофель
Затраты труда на 1 га, чел-ч	40	24	240
Затраты материально-денежных средств, ден.ед.	150	150	500
Выход валовой продукции с 1 га, ден. ед.	325	350	1000

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении. Производственные ресурсы могут быть недоиспользованы, если это целесообразно с точки зрения критерия оптимальности.

Введем обозначения в задаче:

Переменные:

х₁, га - искомая посевная площадь под пшеницей;

х₂, га - искомая посевная площадь под ячменем;

х₃, га - искомая посевная площадь под картофелем;

Z - целевая функция - максимум валовой продукции в стоимостном выражении, денежные единицы.

Составляем по условию задачи систему ограничений.

Первое ограничение соответствует условию по использованию и наличию пашни.

1. Баланс площади посевов, га

х₁ + х₂ + х₃ ≤ 700.

Проверим единицы измерения левой и правой частей ограничения - это гектары, они совпадают. Поэтому ограничение записано верно.

Второе ограничение соответствует условию по использованию трудовых ресурсов.

40 чел-ч затрачивают на 1 га пшеницы, поэтому на всю посевную площадь пшеницы затрачивают 40∙х₁ (чел-ч), аналогично, на 1 га ячменя затрачивают 24 чел-ч, а на всю площадь под ячменем затрачивают 24∙х₂ (чел-ч), на 1 га картофеля используют 240 чел-ч, на весь картофель 240∙x₃ (чел-ч). Всего в наличии 33600 чел-ч, поэтому можем записать ограничение.

2. Баланс трудовых ресурсов, чел-ч

4 0х₁ + 24х₂ + 240х₃ ≤ 33600

Проверим единицы измерения обеих частей ограничения: они совпадают.

Третье ограничение соответствует условию по использованию и наличию материально-денежных средств.

Рассуждения по записи третьего ограничения совпадают с рассуждениями по записи второго ограничения.

3. Баланс материально-денежных средств, денежные единицы

150х₁ + 150х₂ + 500х₃ ≤ 1000000

(ден.ед./га)*га = ден.ед.

Четвертое ограничение по использованию площади пашни по посевам зерновых культур.

4. Площадь под зерновыми культурами не менее 350 га

х₁ + х₂ ≥350.

[га] = [га]

5. Условия неотрицательности переменных:

x₁≥0; x₂ ≥0; x₃≥0

Целевая функция задачи записывается в виде следующего математического выражения:

max Z = 325x₁ + 350x₂+ 1000x₃

ден.ед. = (ден.ед./га)*га.

Рассуждения по записи целевой функции аналогичны рассуждениям по записи второго ограничения, так как в целевой функции коэффициенты при переменных определяют выход валовой продукции с 1 га культуры в стоимостном выражении.

Получили следующую запись условий задачи в исходной форме:

max Z = 325∙x₁ + 350∙x₂ + 1000∙x₃ .

Перейдем к канонической форме записи задачи.

В исходной форме все переменные неотрицательные, ограничений равенств нет, поэтому вводим неотрицательные дополнительные переменные и заменяем ограничения неравенства на ограничения равенства.

Первое ограничение - неравенство типа меньше либо равно, поэтому вводим с коэффициентом плюс единица дополнительную переменную х₄, так как основных переменных в задаче три (n = 3), получаем

х₁ + х₂ + х₃+ х₄ = 700 , где х₄, га означает недоиспользование посевной площади.

Второе ограничение - неравенство типа " ≤ ", поэтому введем с коэффициентом "+1" новую дополнительную переменную х₅, получаем

40∙х₁ + 24∙х₂+ 240∙х₃+ х₅ = 33600,

где х_{5 ,} чел-ч означает недоиспользование трудовых ресурсов.

Третье ограничение - неравенство типа " ≤ " поэтому вводим новую дополнительную переменную х₆ с коэффициентом плюс единица.

Получаем 150∙х₁+ 150∙х₂ + 500∙х₃+ х₆ = 1000000,

где х₆, денежные единицы, означает недоиспользование материально-денежных средств.

Четвертое ограничение - типа больше или равно, поэтому вводим новую дополнительную переменную х₇ с коэффициентом "-1", получаем

х₁ + х₂ - х₇ = 350,

где х₇, га означает использование посевной площади под зерновыми культурами сверх минимальной границы 350 га.

Пятое: условия неотрицательности всех семи переменных.

Так как дополнительные переменные показывают лишь степень выполнения того или иного условия задачи, не являются основными переменными задачи, то они не влияют на значение целевой функции, поэтому в целевую функцию они вводятся с нулевыми коэффициентами.

Получаем, max Z = 325∙x₁ + 350∙x₂ + 1000∙x₃+ 0∙х₄+ 0∙х₅ + 0∙х₆ + 0∙х₇

Канонической формой задачи является следующая запись:

max Z = 325∙x₁ + 350∙x₂ + 1000∙x₃ + 0∙х₄+ 0∙х₅ + 0∙х₆ + 0∙х₇

Список индивидуальных данных

Задание 1.

По условиям задач 1.1 – 1.17

1) записать исходную форму записи задач линейного программирования, выписывая список переменных, номера и названия ограничений, делая проверку единиц измерения;

2) перейти к канонической форме, записав экономический смысл

дополнительных переменных.

1. Возделываются следующие культуры: горох, овес и кормовая свекла. Площадь посевов - 500 га, трудовые ресурсы - 33600 чел-ч, материально-денежные средства (МДС) - 100000 денежных единиц. Посевная площадь кормовой свеклы не более 50 га.

Таблица 1. Затраты труда, средств на 1 га и выход валовой продукции с 1 га

Культура	Затраты на 1 га		Выход валовой продукции с 1 га, ден. ед.
	труда, чел.-час.	материально-денежных средств, ден. ед.
Горох	33,6	100	250
Овес	24	100	300
Кормовая свекла	336	250	800

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

2. В отделении возделываются культуры - многолетние и однолетние травы на зеленый корм и на сено. Площадь пашни - 400 га, трудовые ресурсы - 16000 чел-ч, площадь многолетних трав на зеленый корм - не более 100 га.

Таблица 2. Затраты труда на 1 га и выход кормов с 1 га

Показатели	Многолетние травы		Однолетние травы
	на зеленый корм	на сено	на зеленый корм	на сенаж
Затраты труда на 1 га, чел.-ч	16,0	24,0	32,0	40,0
Выход кормов с 1га, ц к.ед.	30,0	25,0	25,0	20,0

Критерий оптимальности - максимум производства кормов со всей площади.

3. Возделываются культуры: овес, озимая пшеница, картофель. Посевная площадь - 700 га, посевная площадь озимых зерновых – не более 1/3 от площади всех зерновых, посевная площадь картофеля - не более 200 га.

Таблица 3. Урожайность и цены реализации продукции

Культура	Урожайность, ц/га	Цена реализации, ден. ед./ц
Овес	20,0	9
Озимая пшеница	25,0	13
Картофель	150,0	6

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

4. Возделываются три культуры: овес, кукуруза на силос, многолетние травы на сено.

Площадь пашни - 600 га, трудовые ресурсы - 24000 чел.-час. Посевная площадь овса не должна превышать 200 га. Соотношение посевных площадей кукурузы на силос и многолетних трав следующее: площадь под кукурузой не более 1/2 общей площади пашни под этими культурами.

Таблица 4. Затраты труда на 1 га и выход кормов с 1 га

Культура	Выход кормов с 1 га, ц к.ед.	Затраты труда на 1 га, чел.- час.
Овес	25,0	24,0
Кукуруза на силос	24,0	16,0
Многолетние травы на сено	16,0	16,0

Найти оптимальное сочетание посевов этих культур, обеспечивающее наибольшее производство кормов в ц к.ед.

5. Возделываются картофель (его площадь не более 250 га), ячмень, горох. Посевная площадь - 1000 га, объем минеральных удобрений – 850 ц д.в.

Таблица 5. Нормы внесения удобрений, урожайность и цены реализации продукции

Культура	Нормы внесения минеральных удобрений на 1 га, ц д.в.	Урожайность, ц/га	Цены реализации, ден. ед./ц
Картофель	3,0	100	6
Ячмень	1,0	20	9
Горох	2,0	15	20

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

6. Две культуры: кормовая свекла и кукуруза на силос могут возделываться или без орошения, или с поливом. Площадь орошаемой пашни - 200 га, площадь богарных (неполивных) земель - 600 га. Ресурсы труда - 96000 чел.-ч, ресурсы воды - 1500000 м³.

Таблица 6. Нормы затрат ресурсов и выход кормов

Показатель	Кормовая свекла		Кукуруза на силос
	на поливе	без полива	на поливе	без полива
Затраты труда, чел.-ч/га	400	160	240	160
Норма полива, тыс. м3/га	1,0	-	2,0	-
Выход кормов с 1 га, ц корм. ед.	50,0	30,0	60,0	22,0

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимальное производство кормов в кормовых единицах.

7. Для производства кукурузы и гороха на зерно выделено 1200 га посевных площадей, 48000 чел-час трудовых ресурсов и 2500 тракторо-смен.

Таблица 7. Затраты ресурсов на 1 ц и цена реализации 1 ц

Показатель	Затраты на 1 ц
	кукурузы	гороха
Пашня, га	0,025	0,05
Трудовые ресурсы, чел.-ч	1,8	0,32
Трудовые ресурсы механизаторов, тракторо-смен	0,064	0,37
Цена реализации 1 ц, денежные единицы	5,5	10

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум валовой продукции в стоимостном выражении.

8. Суточный рацион коровы должен содержать не менее 14,2 кг корм. ед. и 1650 г протеина. Концентратов должно быть не более 3,6 кг.

Таблица 8. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость 1 кг корма

Показатель	Зерно озимого ячменя	Солома	Зеленый корм люцерны
Содержится в 1 кг корма: -кормовых единиц, кг к.ед.	1,2	0,2	0,2
-переваримого протеина, г	80	18	35
Стоимость 1 кг корма, ден. ед.	11	2	2,1

Найти оптимальное сочетание кормов, обеспечивающее минимум себестоимости рациона.

9. Возделываются картофель и ячмень. Картофеля должно быть произведено не менее 20000 ц, ячменя - не менее 3000 ц.

Таблица 9. Наличие ресурсов и их затраты на производство 1 ц картофеля и ячменя

Показатель	Затраты на 1 ц		Объем ресурсов
	картофеля	ячменя
Пашня, га	0,001	0,05	1000
Трудовые ресурсы, чел.-ч	1,6	0,8	64000
Трудовые ресурсы механизаторов, тракторо-смен	0,021	0,03	900
Цена реализации 1 ц, ден. ед.	3	5

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

10. Производится зерно, сахарная свекла на корм и мясо свиней. На корм используется 60% валового сбора зерна и весь сбор сахарной свеклы.

Таблица 10. Наличие ресурсов и их затраты на производство 1 ц

Показатель	Зерно	Свекла	Привес свиней	Объем ресурсов
Затраты пашни на производство 1ц, га	0,05	0,005		5000
Затраты труда на 1 ц, чел.-ч	0,08	0,8	16	800000
Содержание ц кормовых единиц в 1 ц	1,2	0,26
Затраты корма на 1 ц привеса, ц к.ед.			5
Прибыль от реализации 1 ц, ден. ед.	5	3	60

Найти оптимальное сочетание производства зерна, сахарной свеклы на корм и мяса свиней, обеспечивающее максимум прибыли.

11. Составить условия размещения производства в хозяйстве в двух отделениях.

Таблица 11. Наличие ресурсов и их затраты на 1 ц

Показатель	I отделение	II отделение
Пшеница
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,05	0,06
труда, чел.-ч	0,30	0,40
Подсолнечник
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,06	0,07
труда, чел.-ч	0,40	0,40
Сахарная свекла
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,002	0,0015
труда, чел.-ч	1,6	2,40
Объем ресурсов в двух отделениях:
пашни, га	500	600
труда, чел-ч	80000	96000

В хозяйстве необходимо произвести 1200 ц пшеницы, 9000 ц подсолнечника, 12000 ц сахарной свеклы. Цена реализации 1 ц пшеницы - 14 денежных единиц, подсолнечника - 18 денежных единиц, сахарной свеклы - 10 денежных единиц.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум валовой продукции в стоимостном выражении.

12. Транспортная задача.

Необходимо составить условия перевозки груза, обеспечивающие минимальный объем грузоперевозок в тонно-километрах.

От трех отправителей А₁, А₂, А₃, имеющих соответственно груз в объеме 200, 300 и 400 т, требуется перевезти этот груз четырем потребителям В₁, В₂, В₃, В₄, потребности которых составляют 150, 200, 300 и 250 т соответственно. Расстояния между отправителями и потребителями даны в таблице 12.

Таблица 12. Коэффициенты транспортных затрат

Отправители	Потребители
	В1	В2	В3	В4
А1	4	5	2	6
А2	1	3	7	8
А3	9	2	5	1

13. В отчете о прибылях и убытках при методе учёта полных затрат рассчитывается валовая прибыль, как разность между выручкой от реализации продукции и производственной себестоимостью реализованной продукции.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум валовой прибыли при производстве и реализации трех видов продукции.

Имеются ресурсы: посевная площадь в объёме 800 га, трудовые ресурсы в объёме 4400 чел.-дней, материально-денежные средства в объёме 100000 ден. ед.

Экономические показатели даны в таблице 13.

Таблица 13. Экономические показатели

Вид продукции	Урожайность, ц/га	Затраты на 1 га		Выручка от реализации 1 ц продукции, ден. ед.	Себестоимость 1 ц произведенной продукции, ден. ед.	Конечные остатки 1 ц произведенной продукции, ден. ед.
		труда, чел.-дн.	материально-денеж-ных средств, ден. ед.
1	2	3	4	5	6	7
I	28	5	100	53,9	21,8	2,3
II	30	4	150	28,6	16,1	1,2
III	26	8	50	20.3	14,2	3,4

Пояснение. Обозначим выручку от реализации 1 ц продукции j-ого вида V_j ,ден.ед., себестоимость 1 ц произведенной продукции j-ого вида C_j ,ден.ед., конечные остатки 1 ц произведенной продукции j-ого вида K_j,ден.ед., валовую прибыль от реализации 1 ц продукции j-ого вида WP_j,ден.ед. Тогда формула расчета валовой прибыли от реализации 1 ц продукции j-ого вида имеет вид: WP_j = V_j – (C_j - K_j), где (C_j - K_j ) – производственная себестоимость реализованной продукции. После расчета валовой прибыли от реализации 1 ц продукции j-ого вида её величину надо умножить на урожайность продукции j-ого вида, получим валовую прибыль от реализации продукции j-ого вида с одного гектара. Эти величины можно записать в таблицу 13, добавив новый столбец.

14. В отчете о прибылях и убытках при методе учёта полных затрат рассчитывается операционная прибыль (до налогообложения), как разность между валовой прибылью от реализации продукции и суммой коммерческих и административных расходов на реализацию продукции.

Используя условия задачи 13, определить операционную прибыль каждого вида продукции и максимум операционной прибыли (до налогообложения) всей продукции, если известны переменные и постоянные коммерческие расходы, административные расходы на каждый вид продукции.

Таблица 14. Исходные данные

Вид продукции	Валовая прибыль от реализации 1 ц продукции, ден. ед.	Коммерческие расходы на реализацию 1 ц продукции, ден. ед.		Административные расходы на реализацию 1 ц продукции, ден.ед.	Сумма коммерческих (переменных и постоянных) расходов на реализацию 1 ц продукции, ден.ед.	Сумма коммерческих и административных расходов на реализацию 1 ц продукции, ден.ед.	Операционная прибыль (до налогообложения) от реализации 1 ц продукции, ден.ед.
		переменные	постоянные
1	2	3	4	5	6	7	8
1		10,5	4,8	8,2
2		2,2	2,3	1,5
3		0,7	0,3	2,0

Пояснение. Обозначим коммерческие переменные расходы на реализацию 1 ц продукции j-ого вида KM1_j ,ден.ед., коммерческие постоянные расходы на реализацию 1 ц продукции j-ого вида KM2_j ,ден.ед., сумму коммерческих (переменных и постоянных) расходов на реализацию 1 ц продукции j-ого вида KMR_j, ден.ед., административные расходы на реализацию 1 ц продукции j-ого вида A_j, ден.ед. , cумму коммерческих и административных расходов на реализацию 1 ц продукции j-ого вида KMAR_j,ден.ед. Тогда формула расчета операционной прибыли (до налогообложения) 1 ц продукции j-ого вида OP_j, ден.ед. имеет вид: OP_j= WP_j – KMAR_j,ден.ед , где KMAR_j = KMR_j + A_j ,ден.ед, а KMR_j= KM1_j,+ KM2_j, ден.ед.

15. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовых ресурсов – 6000 чел.-дн., материально-денежных средств – 1000000 ден.ед.

Таблица 15. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Капуста	500	8	150	30

Пшеницы должно быть произведено не менее 2000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

16. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовых ресурсов – 6000 чел.-дн., материально-денежных средств – 100000 ден.ед.

Таблица 16. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Корнеплоды	300	8	150	30

Зерновых должно быть произведено не менее 3000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

17. Организация для производства двух видов продукции использует четыре вида производственных ресурсов: А, В, С, D.

Таблица 17. Наличие и расход ресурсов

Вид ресурса	Расход ресурсов на единицу вида продукции, ед.		Всего ресурсов, ед.
	I	II
А	1	1	6
В	2,5	4	20
С	1	2,5	10
D	1	-	5
Стоимость единицы вида продукции, ден. ед.	2	5	-

Ресурсы могут быть недоиспользованы. Найти такое соотношение производства этих видов продукции, которое обеспечит максимальный объем продукции в стоимостном выражении.

Контрольные вопросы

1. Какая система называется:

• совместной;

• несовместной;

• определенной;

• неопределенной?

2. Из чего состоит задача математического программирования?

3. Что называется целевой функцией задачи математического программирования?

4. Что называется ограничением задачи математического программирования?

5. Как вводятся дополнительные переменные в ограничения типа меньше либо равно?

6. Как вводятся дополнительные переменные в ограничения типа больше либо равно?

7. Как вводятся дополнительные переменные в ограничения типа равно?

8. Как вводятся дополнительные переменные в целевую функцию?

9. Какой экономический смысл дополнительных переменных, введенных в ограничения типа меньше либо равно?

10. Какой экономический смысл дополнительных переменных, введенных в ограничения типа больше либо равно?

11. Чему равны дополнительные переменные, введенные в ограничения типа меньше либо равно?

12. Чему равны дополнительные переменные, введенные в ограничения типа больше либо равно?