Лабораторная работа № 4-5 «Решение задач линейного программирования на основе фундаментальной теоремы»

Теоретическая часть

Опорным решением называется базисное решение, в котором базисные переменные неотрицательные или решение называется опорным, если система ограничений приведена к единичному базису, все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные неотрицательные, или

допустимое базисное решение называется опорным.

Любое опорное решение входит в область допустимых решений (ОДР) и является допустимым, но не любое допустимое решение является опорным.

Число опорных решений не превышает числа базисных решений.

Число базисных решений не превышает числа сочетаний из n по m, где n - число переменных, а m - число линейно независимых ограничений.

N_оп ≤ N_баз ≤

Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных равна нулю, называется вырожденным.

Задача, имеющая хотя бы одно вырожденное решение, называется вырожденной.

Теорема (Вейерштрасса) для целевой функции. Непрерывная функция, определенная на ограниченном замкнутом множестве, в одной из точек множества принимает максимальное (минимальное) значение.

Теорема. Любое опорное решение системы условий задачи линейного программирования является вершиной области допустимых решений и наоборот, то есть между опорными решениями и вершинами области допустимых решений существует взаимно однозначное соответствие, которое реализует эквивалентность между допустимыми решениями задачи, записанной в канонической и однородной формах. Исключением являются вырожденные решения: несколько вырожденных опорных решений одной задачи линейного программирования соответствуют одной вершине области допустимых решений.

Фундаментальная теорема. Если задача линейного программирования имеет непустую, выпуклую ограниченную область допустимых решений, то у неё существует по крайней мере хотя бы одно оптимальное решение, которое достигается в одном из опорных решений или в соответствующей вершине области допустимых решений.

Теорема. Если при преобразовании однократного замещения разрешающую строку выбирать по минимальному симплексному отношению, то после преобразования однократного замещения все неотрицательные свободные члены останутся неотрицательными.

Симплексным отношением называется отношение неотрицательных свободных членов к строго положительным элементам разрешающего столбца.

1 Теоремы о выпуклых множествах и области допустимых решений

Теорема 1. Пересечение конечного числа выпуклых множеств (если пересечение не пустое) есть выпуклое множество.

Теорема 2. Если область допустимых решений задачи линейного программирования, записанной в исходной, канонической форме, непустая, то она является выпуклым множеством.

Теорема 3. Любая точка выпуклой многогранной области (решение) может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации ее вершин (крайних или угловых точек).

Между опорными решениями и вершинами области допустимых решений задачи линейного программирования существует взаимно однозначное соответствие (если опорное решение невырожденное).

Теорема 4. Область допустимых решений является выпуклым ограниченным многогранником или неограниченной выпуклой многогранной областью с конечным числом вершин.

Графическое решение задач линейного программирования с двумя переменными нам показало, что задача, имеющая непустую ограниченную выпуклую область допустимых решений, всегда имеет оптимальное решение. Этот вывод о существовании решения задачи называется фундаментальной теоремой.