Введение
Учебное пособие предназначено для использования студентами согласно Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности «Математические методы в экономике» (квалификация – экономист-математик), утвержденной 14 апреля 2000 г., который предусматривает следующие требования к содержанию дисциплины ОПД.Ф.02 «Математические методы и модели исследования операций»:
Экономические приложения (примеры типовых задач). Теория линейного программирования. Теория двойственности и экономические приложения. Численные методы решения задач линейного программирования. Задачи целочисленного программирования, их экономические приложения и методы решения.
Цель работы – дать основные теоретические понятия о задачах линейного программирования – раздел «Экономические приложения (примеры типовых задач)», необходимые для постановки и решения профессиональных задач, а также научить записывать экономические и математические условия задач в различных эквивалентных формах и переходить от записи в одной форме к другой - часть разделов «Теория линейного программирования» и «Численные методы решения задач линейного программирования».
Перед началом изучения дисциплины студент проверяет свои знания, ответив на поставленные вопросы:
Какая система линейных уравнений называется совместной?
Какая система линейных уравнений называется несовместной?
Какая система линейных уравнений называется определенной?
Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
Какая система линейных уравнений называется однородной?
Чем графически изображается ax+by=c.
Какую линию представляет функция y=ax/b +c.
Какую линию представляет функция y=k/x.
Какую линию представляет функция y=ax2 +bx+c.
Как построить прямую ax+by=c.
Найти производную функции y=cx.
Найти производную функции y=k/x.
Найти производную функции y=cx2.
Найти частные производные функции z=ax+by.
Найти алгебраическую сумму 2/3 +5/7.
Найти алгебраическую сумму 1-2/3.
Найти алгебраическую сумму 5- 1,2.
Найти алгебраическую сумму2/3 - 5/7.
Найти алгебраическую сумму 2+1/3+1/2.
Найти произведение сомножителей 3/5 и 2.
Найти произведение сомножителей 3/5 и 2/3.
Найти произведение сомножителей 3/5 и 4/7.
Найти произведение сомножителей 3/5 и 0.
Найти частное от деления чисел 4/5 на 4.
Найти частное от деления чисел2/5 на 3.
Найти частное от деления чисел 3/2 на 2/5.
Найти частное от деления чисел 6/5 на 3/10.
Найти частное от деления чисел 4/5 на 0.
Лабораторная работа № 1 «Запись условий задач линейного программирования»
Теоретическая часть
Эквивалентные формы записи задач линейного программирования
Задачами линейного программирования могут быть задачи нахождения оптимального сочетания отраслей, оптимальной структуры производства, оптимального рациона кормления животных, оптимального состава машинно-тракторного парка, оптимального размещения производства и другие.
Математическая запись задачи линейного программирования содержит основные переменные (неизвестные), которые обозначаются Xj, где j =1, 2, ..., n (или j = 1 ÷ n). Переменные величины могут произвольно изменяться в условиях рассматриваемой задачи.
Задача математического программирования состоит из целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных.
Целевой функцией называется математическое выражение, для которого требуется найти экстремальное (то есть максимальное или минимальное) значение, например,
max
Z =
,
где Cj-
коэффициент целевой функции.
Целевую функцию называют также функционалом, линеалом. Целевая функция математически записывает критерий оптимальности, критерий качества.
От задачи на максимум можно перейти к задаче на минимум, умножив целевую функцию на минус единицу (-1).
Ограничение
- это математическое выражение, связывающее
переменные в виде равенств или неравенств.
Все ограничения образуют систему
ограничений
задачи. Ограничения бывают трех типов:
равенства (=), неравенства типа меньше
либо равно
,
неравенства типа больше или равно
.
Например, при i = 1, 2,...m.
,
,
,
Коэффициенты при переменных обозначаются a ij, где индекс i - номер ограничения, индекс j- номер переменной, свободные члены обозначаются a i0 , индекс i - номер ограничения, индекс o - признак свободного члена.
Условия неотрицательности переменных записываются в виде
xj 0 , j = 1, 2, ..., n, (или j = 1 ÷ n).
Задача математического программирования является задачей линейного программирования, если целевая функция и система ограничений - линейные выражения:
m
ax
Z = C1*x1
+ C2*x2
+...+ Cn*x
n
a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n. x n = a 10
a 21 x 1 + a 22 x2 +...+ a 2n x n = a 20
......................................................................
a k1 x 1 + a k2 x 2 +...+ a k n xn ≤ a k 0
a k+1,1 x 1 + a k+1,2 x 2 +...+ a k+1,n x n ≤ a k+1,0
a k+2,1 x 1 + a k+2,2 x2 +...+ a k+2,n x n ≤ a k+2,0 (2.1)
........................................................
a r-1,1 x 1 + a r-1,2 x 2 +...+ a r-1,n x n ≤ a r-1,0
a r 1 x 1 + a r 2 x 2 +...+ a r n x n ≥ a r 0
a r+1,1x1 + a r+1,2 x2 +...+ a r+1,n xn a r+1,0
.................................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x2 +...+ a m n x n ≥ a m 0
x j ≥ 0 , j = 1 n.
Или
maxZ
=
(2.1')
Задача линейного программирования имеет бесчисленное множество решений. Система (2.1'- система ограничений и условия неотрицательности переменных задачи) должна быть совместной и неопределенной, т. е. должна иметь бесчисленное множество решений. Определенная система имеет только одно решение, а несовместная система не имеет ни одного решения.
Если условие экономической задачи представлено в математической записи, содержащей целевую функцию, систему ограничений и условия неотрицательности, причем ограничения записаны как в виде равенств, так и в виде неравенств, то такая запись называется исходной формой записи задачи линейного программирования.
Например,
max Z = 75x1 + 32x2 + 18x3
Каноническая форма задачи линейного программирования характерна тем, что содержит целевую функцию, все ограничения равенства, все переменные неотрицательные. (2.2).
max Z =
(2.2)
Например,
max Z = 3 x1 + 4 x2 + 0 x3 + 0 x4
Каноническая форма используется при решении задач линейного программирования симплексным методом, являющимся универсальным методом решения таких задач.
Однородная форма записи задач линейного программирования1 характерна тем, что содержит целевую функцию, все ограничения неравенства типа меньше или равно ( ), все переменные неотрицательные (2.3).
max
Z =
(2.3)
max
Z = 4 x1 +
3 x2
3.х1+4.х2
12
2.х1+3.х2 6
x j 0 j = 1, 2
Однородная форма записи задач линейного программирования используется при решении задач графическим методом.
Каноническая и однородная формы являются частными случаями исходной формы.