- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •П ример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Пакет matlab
Этот пакет располагает несколькими методами интерполяции и функциями, которые можно найти в каталоге polyfun.
Одномерная табличная интерполяция. Для одномерной табличной интерполяции используется функция interp1:
yi=interp1(x, y, xi, method) – возвращает вектор уi, содержащий элементы, соответствующие элементам хi и полученные интерполяцией векторов х и y. Вектор х определяет точки, в которых задано значение y. Если y – матрица, то интерполяция выполняется для каждого столбца y и уi. Параметром method можно задать один из следующих методов интерполяции:
'nearest' – ступенчатая интерполяция;
'linear' – линейная интерполяция (принята по умолчанию);
'spline' – кубическая сплайн-интерполяция;
'cubic' или 'pchip' – интерполяция многочленами Эрмита.
Все методы интерполяции требуют, чтобы значения х изменялись монотонно. В ряде случаев очень удобна сплайновая интерполяция таблично заданных функций, при которой промежуточные точки ищут по отрезкам полиномов третьей степени – это кубическая сплайновая интерполяция. Обычно такие полиномы вычисляются так, чтобы не только их значения совпадали с координатами узловых точек, но также чтобы в узловых точках были непрерывны производные первого и второго порядков.
Пример
Программа интерполяции функции синуса может иметь такой вид:
>>x = 0:0.2:pi; y = sin(x);
pp = interp1(x,y,'cubic','pp');
xi = 0:0.1:pi;
yi = ppval(pp,xi); % вычисляются значения интерполирующей функции
plot(x,y,'ko'), hold on, plot(xi,yi,':'), grid on, hold off
Результат представлен на рис. 8.2.
Рис. 8.2. Кубическая интерполяция синуса
Нетрудно заметить, что сплайн-интерполяция в данном случае дает гораздо лучшие результаты, чем линейная интерполяция. При последней точки просто соединяются друг с другом отрезками прямых, так что график интерполирующей кривой при линейной интерполяции получается негладким.
Пункт Tools основного меню графического окна содержит две команды:
Basic Fitting – основные методы аппроксимации;
Data Statistics – статистические параметры данных.
В окне Basic Fitting можно выбрать метод аппроксимации, как показано на рис 8.2 (в данном случае выбраны Spline interpolant, linear, cubic), при этом соответствующая кривая появляется в графическом окне. Активизировав параметр Show equations (показать уравнения), получим выражение аппроксимирующей функции непосредственно в графическом окне. Оценку погрешности аппроксимации можно получить, если активизировать режим Plot residuals (график погрешностей), выводящий столбцовый или линейчатый график погрешностей в узловых точках. Параметр Show norm of residuals (показать норму погрешности) позволяет вывести в окно погрешности норму, характеризующую среднеквадратичную ошибку. Чем меньше норма, тем лучше аппроксимация.
Рис. 8.3. Пример окна Basic Fitting
В рассматриваемом примере сплайн дает абсолютно точный результат, поскольку интерполяционный сплайн обязательно проходит через все узловые точки.
Команда Data Statistics выводит на экран окно, содержащее ряд статистических характеристик. Отметив соответствующую характеристику, можно визуализировать ее в графическом окне.