- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •П ример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Выводы. Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
Цель работы: изучить метод построения для табличной функции y(x) интерполяционного полинома в форме полинома Лагранжа, сравнить результаты интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева, оценить погрешность интерполирования.
Постановка задачи
Изучить теоретические сведения.
Построить для заданной табличной функции y(x) аналитическую функцию в виде интерполяционного многочлена Лагранжа. Выполнить поставленную задачу в средах MATHCAD и MATLAB.
Определить значение функции в средних точках интервалов , , .
Проверить результаты с помощью встроенных функций интерполяции.
Представить полученные результаты графически.
Задать самостоятельно дробно-рациональную функцию F(x) специального вида. Сравнить с помощью графиков результаты интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева.
Найти значение функции F(x) в промежуточной точке на интервале интерполирования. Оценить погрешность замены функции интерполяционным многочленом.
Применить встроенные функции пакета MATLAB для решения реальной задачи интерполирования (данные взять из файла file.dat).
Содержание отчёта
Теоретические сведения.
Таблица значений исходной функции Y(x).
Запись интерполяционного многочлена Р(x) для заданной табличной функции (без приведения подобных).
Листинги для решения задачи построения интерполяционного многочлена Лагранжа в пакетах MATHCAD и MATLAB.
Таблица значений исходной функции F(x) (задать самостоятельно).
Сравнительный анализ результатов интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева.
Вычисление погрешности интерполирования для произвольной точки функции F(x) (в пакете MATHCAD).
Решение задачи интерполирования для таблицы данных файла file.dat. Графики результата интерполирующего многочлена.
Выводы. Теоретические сведения
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке [a,b] заданы точки xk, k=0,1,…,n (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени n
, (6.1)
значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции f(x) в этих точках:
(6.2)
Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов a0,a1,…,an получаем систему линейных уравнений
,
определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi, i=0,1,…,n нет совпадающих. Решение системы можно записать различным образом.
Интерполяционный многочлен, представленный в виде
(6.3)
называется интерполяционным многочленом Лaгранжа (Жозеф Луи Лагранж — французский математик). Функции wi есть многочлены степени n, которые называются лагранжевыми коэффициентами:
(6.4)
Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.
1. При имеем две узловые точки. Формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:
,
где — абсциссы этих точек.
2. При получим уравнение параболы , проходящей через три точки:
,
где — абсциссы данных точек.
Отметим преимущества и недостатки многочлена Лагранжа.
Преимущества: интерполяционный многочлен Лагранжа работает как для таблиц с постоянным шагом, так и для таблиц с переменным шагом; рni(x) не зависит от функции f(x), откуда следует, что по одной системе узлов можно интерполировать несколько функций.
Недостатки: все слагаемые в формуле Лагранжа равнозначны, поэтому при добавление узлов таблицы многочлен Лагранжа придется полностью перестраивать.
Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа удовлетворяет неравенству
,
где , , .
Величину ошибки можно минимизировать, если в качестве узлов интерполяции выбрать абциссы (узпы) полинома Чебышева. Многочлен Чебышева Tn(x) на интервале [-1,1] имеет ровно n действительных корней, определяемых как . Для того чтобы решить задачу интерполяции на интервале [a,b], необходимо выполнить линейное преобразование .